sábado, 12 de febrero de 2011
miércoles, 2 de febrero de 2011
clase #1 y 2 de artistica, grado sexto
tipos de dibujo
INTRODUCCIÓN
Desde sus orígenes, el hombreha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujoartístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivosdel dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.
Ramas del dibujo.
Según su objetivose divide en dos formas:
Dibujo artístico que se realiza libremente y con finalidad estética.
Dibujo técnico que se realiza con otros medios auxiliares, siguiendo normas y fines prácticos.
Concepto de dibujo técnico.
El dibujo técnicoes la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir.
Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. Cuando no utilizamos estos instrumentos se llama dibujo a mano alzada o croquis.
Tipos de dibujo técnico.
Con el desarrolloindustrial y los avances tecnológicos el dibujo ha aumentado su campo de acción. Los principales son:
Dibujo arquitectónico: El dibujo arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficascon las cuales realizamos los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre otros. Se dibuja el proyectocon instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros.
Dibujo mecánico:El dibujo mecánico se emplea en la representación de piezas o partes de máquinas, maquinarias, vehículos como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas, son llamados planos de conjunto; y los que representa un sólo elemento, plano de pieza. Los que representan un conjunto de piezas con las indicaciones gráficas para su colocación, y armar un todo, son llamados planos de montaje.
Dibujo eléctrico:Este tipo de dibujo se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una industria, oficinao vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de electricidad. Mediante la simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos, interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas entre otros.
Dibujo electrónico:Se representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, radios y otros.
Dibujo geológico: El dibujo geológico se emplea en geografía y en geología, en él se representan las diversas capas de la tierraempleando una simbología y da a conocer los mineralescontenidos en cada capa. Se usa mucho en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos.
Dibujo topográfico:El dibujo topográfico nos representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno, mediante signos convencionalmente establecidos. Nos muestra los accidentes naturales y artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales o curvas de nivel.
Dibujo urbanístico: Este tipo de dibujo se emplea en la organizaciónde ciudades: en la ubicación de centros urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas entre otros. Se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de pormenor.
Importancia del dibujo técnico como elemento de comunicación.
Con la comunicación se puede transmitir elementos que percibimos por los sentidos. Estos elementos son los signos.
En el lenguajelos signos son las palabras, y es considerado la comunicación por excelencia.
El dibujo técnico es un lenguaje, una comunicación. Es un lenguaje universal con el cual nos podemos comunicar con otras personas, sin importar el idioma. Emplea signos gráficos, regido por normas internacionales que lo hacen más entendible.
Para que un dibujo técnico represente un elemento de comunicación completo y eficiente, debe ser claro, preciso y constar de todos sus datos; todo esto depende de la experiencia del dibujante en la expresión gráfica que realice, bien sea un croquis, una perspectiva o un plano.
CARACTERÍSTICAS DEL DIBUJO TÉCNICO.
El dibujo técnico posee 3 características que deben ser respetadas a la hora de realizar un trabajo:
Grafico
Universal
Preciso
Es fundamental que todas las personas, diseñadores o técnicos, sigan unas normas claras en la representación de las piezas. A nivel internacional, las normas ISOson las encargadas de marcar las directrices precisas.
En dibujo técnico, las normas de aplicación se refieren a los sistemasde representación, presentaciones (líneas, formatos, rotulación, etc.), representación de los elementos de las piezas (cortes, secciones, vistas, etc.), etc.
INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN EL DIBUJO TÉCNICO
La realización de un dibujo técnico exige cálculo, medición, líneas bien trazadas, precisión en fin, una serie de condiciones que hacen necesario el uso de buenos instrumentos, buenos materiales, y sumado a esto, el conocimiento teórico que unido a la práctica hacen sobresalir a un dibujante.
Tablero de dibujo.
Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T.
El tamaño depende del formato que se vaya a utilizar. Para el formato escolar es suficiente un tamaño de 40 centímetros de altura por 60 centímetros de anchura.
En los talleres de dibujo técnico, en lugar de tableros, se emplean mesas construidas solamente para esta actividad, con las dimensiones e inclinación necesaria.
La regla T.
La regla T recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico.
Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a su fijación.
La regla graduada.
Es un instrumento para medir y trazar líneas rectas, su forma es rectangular, plana y tiene en sus bordes grabaciones de decímetros, centímetros y milímetros.
Por lo general son de madera o plástico. Aunque son preferibles las de plástico transparente para ver las líneas que se van trazando.
Sus longitudes varían de acuerdo al uso y oscilan de 10 a 60 centímetros Las más usuales son las de 30 centímetros.
Las escuadras.
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.
Las escuadras que se usan en dibujo técnico son dos:
- La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º.
- La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º.
El transportador.
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º.
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
El compás.
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas.
Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja con los dedos índice y pulgar.
Uno de los brazos tiene una aguja de acerograduable mediante un tornillo de presióny una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la colocación de portaminas u otros accesorios.
Clases de compás.
- Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios como el portamina o lápiz.
- Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar medidas.
- Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio.
- Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él.
Lápices.
Los lápices son elementos esenciales para la escrituray el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Para dibujar son mejores los hexagonales porque facilitan la sujeción entre los dedos y evitan que se ruede al dejarlos sobre la mesa de dibujo.
Grados de dureza de la mina.
La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan líneas finas de colorgris y las más blandas líneas gruesas y de color negro.
Están clasificados por letras y números. La H viene de la palabra hard que significa duro, la F significa firme y la B de black que significa negro.
Los más duros son: 4H, 3H, 2H y H. Los intermedios son: HB y F. Los más blandos son: B, 2B, 3B y 4B.
Portaminas o lapiceros.
Los portaminas son de metal o plástico y aloja en su interior la mina o minas que se deslizan mediante un resorte hacia afuera, que han de servir para escribir o trazar. Las minas son de distinta dureza. Aventaja a los lápices por el afilado de la mina y su resguardo.
Goma de borrar.
Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes. Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel.
Antes de borrar debe asegurarse de que está limpia y si hemos de borrar partes pequeñas, trazos sobrantes o líneas cercanas, debemos usar la plantilla auxiliar del borrado de acero laminado.
Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borrona.
El papel.
El papel es una lámina fina hecha de unas pastas de materiales distintos como trapos, madera, cáñamo, algodón y celulosa de vegetales. Es utilizado en todo el mundo para escribir, imprimir, pintar, dibujar y otros.
Existen de diferentes tipos, tonos y texturas. Pero en el dibujo técnico se utilizan dos clases: el papel opaco y el papel traslúcido.
El papel opaco no es transparente, tiene varios tonos, desde el blanco al blanco amarillento. La cara donde se dibuja es lisa y brillante.
El papel traslúcido es transparente. Es utilizado para dibujos o copias de planos a lápiz o tinta.
El tirro.
El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el papel ni en el tablero.
Cortamos cuatro pedacitos de cinta adhesiva, de longitud 2,5 aproximadamente, y los colocamos en el borde derecho de la mesa de dibujo, presionamos con los dedos de la mano izquierda, regla T y formato, pegamos en las esquinas superiores las cintas, de manera que queden perpendiculares a las esquinas, sin que la cinta llegue al margen de la lámina.
Dibujo Artístico: El "Dibujo Artistico" se define como el tipo de dibujo que sirve para expresar ideas filosóficas o estéticas así como sentimientos y emociones. El artista cuando dibuja cosas, las dibuja tal como las ve emocionalmente de acuerdo con su propia y peculiar manera de percibir la realidad de su entorno. Este tipo de dibujo requiere aptitudes especiales como las personales y naturales
tomado de http://www.monografias.com/trabajos14/dibujo-tecnico/dibujo-tecnico.shtml
INTRODUCCIÓN
Desde sus orígenes, el hombreha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujoartístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivosdel dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.
Ramas del dibujo.
Según su objetivose divide en dos formas:
Dibujo artístico que se realiza libremente y con finalidad estética.
Dibujo técnico que se realiza con otros medios auxiliares, siguiendo normas y fines prácticos.
Concepto de dibujo técnico.
El dibujo técnicoes la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir.
Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. Cuando no utilizamos estos instrumentos se llama dibujo a mano alzada o croquis.
Tipos de dibujo técnico.
Con el desarrolloindustrial y los avances tecnológicos el dibujo ha aumentado su campo de acción. Los principales son:
Dibujo arquitectónico: El dibujo arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficascon las cuales realizamos los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre otros. Se dibuja el proyectocon instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros.
Dibujo mecánico:El dibujo mecánico se emplea en la representación de piezas o partes de máquinas, maquinarias, vehículos como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas, son llamados planos de conjunto; y los que representa un sólo elemento, plano de pieza. Los que representan un conjunto de piezas con las indicaciones gráficas para su colocación, y armar un todo, son llamados planos de montaje.
Dibujo eléctrico:Este tipo de dibujo se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una industria, oficinao vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de electricidad. Mediante la simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos, interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas entre otros.
Dibujo electrónico:Se representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, radios y otros.
Dibujo geológico: El dibujo geológico se emplea en geografía y en geología, en él se representan las diversas capas de la tierraempleando una simbología y da a conocer los mineralescontenidos en cada capa. Se usa mucho en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos.
Dibujo topográfico:El dibujo topográfico nos representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno, mediante signos convencionalmente establecidos. Nos muestra los accidentes naturales y artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales o curvas de nivel.
Dibujo urbanístico: Este tipo de dibujo se emplea en la organizaciónde ciudades: en la ubicación de centros urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas entre otros. Se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de pormenor.
Importancia del dibujo técnico como elemento de comunicación.
Con la comunicación se puede transmitir elementos que percibimos por los sentidos. Estos elementos son los signos.
En el lenguajelos signos son las palabras, y es considerado la comunicación por excelencia.
El dibujo técnico es un lenguaje, una comunicación. Es un lenguaje universal con el cual nos podemos comunicar con otras personas, sin importar el idioma. Emplea signos gráficos, regido por normas internacionales que lo hacen más entendible.
Para que un dibujo técnico represente un elemento de comunicación completo y eficiente, debe ser claro, preciso y constar de todos sus datos; todo esto depende de la experiencia del dibujante en la expresión gráfica que realice, bien sea un croquis, una perspectiva o un plano.
CARACTERÍSTICAS DEL DIBUJO TÉCNICO.
El dibujo técnico posee 3 características que deben ser respetadas a la hora de realizar un trabajo:
Grafico
Universal
Preciso
Es fundamental que todas las personas, diseñadores o técnicos, sigan unas normas claras en la representación de las piezas. A nivel internacional, las normas ISOson las encargadas de marcar las directrices precisas.
En dibujo técnico, las normas de aplicación se refieren a los sistemasde representación, presentaciones (líneas, formatos, rotulación, etc.), representación de los elementos de las piezas (cortes, secciones, vistas, etc.), etc.
INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN EL DIBUJO TÉCNICO
La realización de un dibujo técnico exige cálculo, medición, líneas bien trazadas, precisión en fin, una serie de condiciones que hacen necesario el uso de buenos instrumentos, buenos materiales, y sumado a esto, el conocimiento teórico que unido a la práctica hacen sobresalir a un dibujante.
Tablero de dibujo.
Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T.
El tamaño depende del formato que se vaya a utilizar. Para el formato escolar es suficiente un tamaño de 40 centímetros de altura por 60 centímetros de anchura.
En los talleres de dibujo técnico, en lugar de tableros, se emplean mesas construidas solamente para esta actividad, con las dimensiones e inclinación necesaria.
La regla T.
La regla T recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico.
Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a su fijación.
La regla graduada.
Es un instrumento para medir y trazar líneas rectas, su forma es rectangular, plana y tiene en sus bordes grabaciones de decímetros, centímetros y milímetros.
Por lo general son de madera o plástico. Aunque son preferibles las de plástico transparente para ver las líneas que se van trazando.
Sus longitudes varían de acuerdo al uso y oscilan de 10 a 60 centímetros Las más usuales son las de 30 centímetros.
Las escuadras.
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.
Las escuadras que se usan en dibujo técnico son dos:
- La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º.
- La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º.
El transportador.
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º.
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
El compás.
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas.
Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja con los dedos índice y pulgar.
Uno de los brazos tiene una aguja de acerograduable mediante un tornillo de presióny una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la colocación de portaminas u otros accesorios.
Clases de compás.
- Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios como el portamina o lápiz.
- Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar medidas.
- Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio.
- Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él.
Lápices.
Los lápices son elementos esenciales para la escrituray el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Para dibujar son mejores los hexagonales porque facilitan la sujeción entre los dedos y evitan que se ruede al dejarlos sobre la mesa de dibujo.
Grados de dureza de la mina.
La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan líneas finas de colorgris y las más blandas líneas gruesas y de color negro.
Están clasificados por letras y números. La H viene de la palabra hard que significa duro, la F significa firme y la B de black que significa negro.
Los más duros son: 4H, 3H, 2H y H. Los intermedios son: HB y F. Los más blandos son: B, 2B, 3B y 4B.
Portaminas o lapiceros.
Los portaminas son de metal o plástico y aloja en su interior la mina o minas que se deslizan mediante un resorte hacia afuera, que han de servir para escribir o trazar. Las minas son de distinta dureza. Aventaja a los lápices por el afilado de la mina y su resguardo.
Goma de borrar.
Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes. Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel.
Antes de borrar debe asegurarse de que está limpia y si hemos de borrar partes pequeñas, trazos sobrantes o líneas cercanas, debemos usar la plantilla auxiliar del borrado de acero laminado.
Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borrona.
El papel.
El papel es una lámina fina hecha de unas pastas de materiales distintos como trapos, madera, cáñamo, algodón y celulosa de vegetales. Es utilizado en todo el mundo para escribir, imprimir, pintar, dibujar y otros.
Existen de diferentes tipos, tonos y texturas. Pero en el dibujo técnico se utilizan dos clases: el papel opaco y el papel traslúcido.
El papel opaco no es transparente, tiene varios tonos, desde el blanco al blanco amarillento. La cara donde se dibuja es lisa y brillante.
El papel traslúcido es transparente. Es utilizado para dibujos o copias de planos a lápiz o tinta.
El tirro.
El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el papel ni en el tablero.
Cortamos cuatro pedacitos de cinta adhesiva, de longitud 2,5 aproximadamente, y los colocamos en el borde derecho de la mesa de dibujo, presionamos con los dedos de la mano izquierda, regla T y formato, pegamos en las esquinas superiores las cintas, de manera que queden perpendiculares a las esquinas, sin que la cinta llegue al margen de la lámina.
Dibujo Artístico: El "Dibujo Artistico" se define como el tipo de dibujo que sirve para expresar ideas filosóficas o estéticas así como sentimientos y emociones. El artista cuando dibuja cosas, las dibuja tal como las ve emocionalmente de acuerdo con su propia y peculiar manera de percibir la realidad de su entorno. Este tipo de dibujo requiere aptitudes especiales como las personales y naturales
tomado de http://www.monografias.com/trabajos14/dibujo-tecnico/dibujo-tecnico.shtml
martes, 1 de febrero de 2011
clase # 2, religion grado sexto
La mitología nórdica o escandinava comprende la religión, creencias y leyendas de los pueblos escandinavos, incluyendo aquellos que se asentaron en Islandia, donde las fuentes escritas de la mitología nórdica fueron reunidas. Es la versión mejor preservada de la antigua mitología germana, común a todos los pueblos germanos, que también incluye la estrechamente relacionada mitología anglosajona. La mitología germana, a su vez, ha evolucionado de una mitología indo-europea más temprana.
La mitología nórdica era una colección de creencias e historias compartidas por los pueblos germanos septentrionales. Es importante señalar que esta mitología no era compartida por los pueblos nórdicos de etnia urálica (fineses, estonios y lapones) ni báltica (letones), quienes poseían una propia. No era una religión revelada, pues no había una verdad entregada por los divinos a los mortales (a pesar que tiene relatos de personas normales aprendiendo las historias de los dioses de una visita de o a ellos), y no tenía un libro sagrado. Esta mitología era transmitida oralmente en forma de una larga y regular poesía. Dicha transmisión continuó durante la era vikinga, y nuestro conocimiento sobre ella está basado principalmente en las Eddas y otros textos medievales escritos durante o después de la cristianización.
En el folclore escandinavo, estas creencias duraron mucho tiempo, y en algunas áreas rurales algunas tradiciones han sido mantenidas hasta hoy. Otras han sido recientemente revividas o reinventadas como el neopaganismo germano. La mitología también ha permanecido como inspiración en la literatura así como en producciones escénicas o películas.
Paganismo escandinavo es un término utilizado para describir las tradiciones religiosas comunes entre las tribus germánicas que habitaban en los países nórdicos antes y durante la cristianización de Europa del norte. El paganismo nórdico es un subconjunto del paganismo germánico, practicado en las tierras deshabitadas por las tribus germánicas en casi toda Europa central y septentrional, durante la época vikinga. El conocimiento actual sobre el paganismo nórdico ha sido inferido por los resultados arqueológicos, etimológicos, y por los materiales escritos de la época.
Algunos expertos como Georges Dumézil, sugieren que diversos elementos estructurales y temáticos dentro de las certificadas ideas religiosas escandinavas, ubican al paganismo escandinavoo, dentro de la estructura básica de la expresión pan-Indo-europea de las ideas espirituales como un todo.
La mitología nórdica o escandinava es más desconocida que otras mitologías como pueden ser la griega, romana o egipcia, siendo ésta igual de ricas en leyendas y mitos que las que hemos enumerado anteriormente.Este hecho es debido a la fragilidad de las fuentes que disponemos. Durante muchos siglos la mitología nórdica se ha trasmitido oralmente, y no fue hasta el Siglo X, con la llegada de los primeros cristianos en Escandinavia, que encontramos las primeras referencias literarias.
Y es que la llegada del Cristianismo traerá con ella la llegada de la escritura latina, permitiendo enseñar a los escandinavos la escritura. Las runas se crearon para ser únicamente grabadas y no se prestaban a la escritura de textos largos.
Entre el siglo X y siglo XII, solas algunas leyendas serán transcritas. Habrá que esperar al siglo XII y a la escritura de la Edda por Snorri Sturluson, para tener una nueva transcripción (ésta más amplia) de la mitología nórdica.
Religión panteísta que concede una importancia destacada a la Naturaleza, a la mujer y a la adivinación, la mitología nórdica coloca a la vida en el centro de su sistema. Para ellos la vida está concebida como un enfrentamiento de las fuerzas de creación y de las de disolución. Y de este enfrentamiento surge la fecundidad.
En la mitología nórdica existen dos clases de dioses: los dioses más antiguos (Vanir, son los dioses de la naturaleza, de la fecundidad y de la prosperidad) y los dioses Aesir, asociados a funciones de gobierno y de guerra
La llamada Mitología del Norte, puede ser considerada como un valioso vestigio de los comienzos de la poesía del Norte, antes que una representación de las creencias religiosas de los escandinavos. Tales fragmentos literarios contienen muchos indicativos de la época transicional, en la que la confusión de la antigua y la nueva fe se hace aparente.
El clima y el escenario de las tierras en las que los nórdicos habitaban tuvo una gran influencia en la configuración de sus primeras ideas religiosas, al igual que en la disposición de su modo de vida. La mitología del Norte es grandiosa y trágica a un tiempo. Su tema principal es la lucha perpetua que existe entre las fuerzas de la Naturaleza beneficiosas contra las dañinas y, por tanto, no es de carácter elegante e idílico, como otras mitologías europeas.
Era natural que los peligros que conllevaban la caza y la pesca bajo los cielos nublados y el sufrimiento impuesto por los largos y fríos inviernos cuando el sol nunca brilla, hicieron a nuestros antepasados nórdicos a contemplar el frío y el hielo como espíritus malignos. Con igual razón, invocaban con especial fervor las influencias benignas del calor y la luz.
Con respecto a la religión, la mayoría de los pueblos meditan sobre el pasado lejano y el distante futuro: cómo empezó este mundo y qué había antes, cuáles son los límites del mundo y cómo están situados, cómo se creó al hombre, rara vez el por qué, cómo llegará el mundo a su fin y qué es lo que pasará después. Tales reflexiones son una potente fuente de mitos y también es así en el caso de los nórdicos.
Nuestros conocimientos sobre su religión dependen de tres fuentes principales. La primera de ellas es la Edda Poética, un grupo de textos más o menos relacionados, unos poemas de longitud media o corta. El núcleo de esta colección llena un manuscrito llamado Codex Regius (el Manuscrito Real). Contiene veintinueve poemas, once de ellos sobre temas mitológicos y dieciséis, junto con dos fragmentos, sobre héroes y heroínas de la antigüedad germánica.
Los poemas éddicos están más o menos estructurados en estrofas con un grado limitado de variantes métricas, por lo cual posee una apariencia muy homogénea. Algunos son narrativos, otros son poemas de pregunta y respuesta, diálogos entre seres sobrenaturales que sirven para dar información mítica. De vez en cuando hay una serie de estrofas que contienen sabiduría o proverbios atribuidos a una de las divinidades.
Está el caso del poema llamado Hávamál (el Discurso del Altísimo). Es una obra compleja, compuesta por secuencias de estrofas individuales que fueron reunidas bajo un único encabezamiento de una fecha temprana. Incorpora temas de gran antigüedad, probablemente de la Era Vikinga. Cuenta algo de la visión nórdica del mundo. Gran parte del poema está escrito en forma de proverbios, útiles consejos, pero algo pragmáticos, de cómo dirigir la vida. Se habla de la amistad, de sus obligaciones y beneficios, de los deberes de la hospitalidad, de la importancia de la prudencia en todo momento, de la necesidad de estar bien considerado por los demás, etc. Hay, en este poema, material mágico, cantos y hechizos y una secuencia narrativa de los acontecimientos.
La Edda en Prosa, compuesta por el escritor islandés Snorri Sturluson, es la segunda gran fuente de material mitológico escandinavo. El libro se distribuye en cuatro secciones: un prólogo; Gylfaginning (La Alucinación de Gylf); Skáldskaparmál (la Dicción de los Poetas) y el Háttatal (Recuento de Estrofas).
Finalmente, la tercena fuente que nos ayuda a recomponer la religión nórdica son los poemas escáldicos, con sus intrincadas composiciones y metáforas que aluden casi siempre de forma indirecta a las cosas o personas, por medio de los kenningar. No resulta sencillo sacar un conjunto coherente de la mitología escandinava de esta mezcla de fuentes de diferentes lugares y épocas y que responden a diferentes demandas literarias a su vez. Es mucho suponer que en toda Escandinavia se mantuvieran exactamente las mismas ideas y creencias, así como convicciones religiosas, sin variaciones. Hay una confusión de relatos: algunos pertenecen a secuencias claras, otros están aparentemente dispersos, sin ningún fin.
Es difícil establecer cuánto hay de auténtica leyenda nórdica y cuánto de invención puramente literaria. También es tema de debate qué papel juegan los mitos en las creencias nórdicas, ya que un mito en sí, se dice, usa algunas ideas populares que tratan de fenómenos históricos o naturales.
Entre los mayores mitos escandinavos están aquellos que explican el principio y final de este mundo, su distribución, la creación de los primeros humanos y las luchas entre el bien y el mal, como asuntos de vital importancia para sus vidas culturales. No es sorprendente que ninguno sea muy preciso. Es una mitología apropiada para una raza guerrera, en la que las matanzas y las traiciones son moneda corriente y en la que un hombre importante demuestra su grandeza luchando contra un destino que sabe inevitable.
Hoy no hay modo de saber en qué medida los mitos literarios representaban lo que los vikingos creyeron realmente o lo que guiaba sus actos en sus vidas diarias. Los vikingos mismos no hicieron constar detalles de su religión pagana y los cristianos que entraron en contacto con ellos estuvieron poco dispuestos a describir el paganismo o a darle crédito en modo alguno. Si lo mencionaban era generalmente en términos despectivos.
El único templo pagano sobre el cual tenemos una información detallada es el de Gamla Uppsala, en Suecia central, que fue descrito por el clérigo alemán Adam de Bremen en el siglo XI. Dice que todo el edificio era dorado. El templo contenía los ídolos de tres de sus dioses. Cada uno de ellos contaba con sus propios sacerdotes y la gente les ofrecía sacrificios para obtener beneficios apropiados.
Los eruditos modernos han tendido a quitar importancia a la magnitud de las celebraciones mayores tan prolijamente y, tal vez imaginativamente, descritas en las sagas y a poner de relieve en su lugar los aspectos más locales del culto.
Igual que los pueblos germánicos en general, los escandinavos no tenían una casta sacerdotal propiamente designada. El sacerdote también era un jefe seglar, la cabeza de una familia o de la sociedad local. Aquí las Sagas Islandesas son de especial importancia, aunque de nuevo su fecha tardía y fondo cristiano pueden hacer que su información sea poco fiable como documento histórico descriptivo de las creencias paganas antiguas. No obstante, dan a entender que la religión pagana nórdica estaba estrechamente unida al ciclo anual y a la jerarquía social seglar, como ocurre en el caso de los godar, en Islandia.
La mitología nórdica era una colección de creencias e historias compartidas por los pueblos germanos septentrionales. Es importante señalar que esta mitología no era compartida por los pueblos nórdicos de etnia urálica (fineses, estonios y lapones) ni báltica (letones), quienes poseían una propia. No era una religión revelada, pues no había una verdad entregada por los divinos a los mortales (a pesar que tiene relatos de personas normales aprendiendo las historias de los dioses de una visita de o a ellos), y no tenía un libro sagrado. Esta mitología era transmitida oralmente en forma de una larga y regular poesía. Dicha transmisión continuó durante la era vikinga, y nuestro conocimiento sobre ella está basado principalmente en las Eddas y otros textos medievales escritos durante o después de la cristianización.
En el folclore escandinavo, estas creencias duraron mucho tiempo, y en algunas áreas rurales algunas tradiciones han sido mantenidas hasta hoy. Otras han sido recientemente revividas o reinventadas como el neopaganismo germano. La mitología también ha permanecido como inspiración en la literatura así como en producciones escénicas o películas.
Paganismo escandinavo es un término utilizado para describir las tradiciones religiosas comunes entre las tribus germánicas que habitaban en los países nórdicos antes y durante la cristianización de Europa del norte. El paganismo nórdico es un subconjunto del paganismo germánico, practicado en las tierras deshabitadas por las tribus germánicas en casi toda Europa central y septentrional, durante la época vikinga. El conocimiento actual sobre el paganismo nórdico ha sido inferido por los resultados arqueológicos, etimológicos, y por los materiales escritos de la época.
Algunos expertos como Georges Dumézil, sugieren que diversos elementos estructurales y temáticos dentro de las certificadas ideas religiosas escandinavas, ubican al paganismo escandinavoo, dentro de la estructura básica de la expresión pan-Indo-europea de las ideas espirituales como un todo.
La mitología nórdica o escandinava es más desconocida que otras mitologías como pueden ser la griega, romana o egipcia, siendo ésta igual de ricas en leyendas y mitos que las que hemos enumerado anteriormente.Este hecho es debido a la fragilidad de las fuentes que disponemos. Durante muchos siglos la mitología nórdica se ha trasmitido oralmente, y no fue hasta el Siglo X, con la llegada de los primeros cristianos en Escandinavia, que encontramos las primeras referencias literarias.
Y es que la llegada del Cristianismo traerá con ella la llegada de la escritura latina, permitiendo enseñar a los escandinavos la escritura. Las runas se crearon para ser únicamente grabadas y no se prestaban a la escritura de textos largos.
Entre el siglo X y siglo XII, solas algunas leyendas serán transcritas. Habrá que esperar al siglo XII y a la escritura de la Edda por Snorri Sturluson, para tener una nueva transcripción (ésta más amplia) de la mitología nórdica.
Religión panteísta que concede una importancia destacada a la Naturaleza, a la mujer y a la adivinación, la mitología nórdica coloca a la vida en el centro de su sistema. Para ellos la vida está concebida como un enfrentamiento de las fuerzas de creación y de las de disolución. Y de este enfrentamiento surge la fecundidad.
En la mitología nórdica existen dos clases de dioses: los dioses más antiguos (Vanir, son los dioses de la naturaleza, de la fecundidad y de la prosperidad) y los dioses Aesir, asociados a funciones de gobierno y de guerra
La llamada Mitología del Norte, puede ser considerada como un valioso vestigio de los comienzos de la poesía del Norte, antes que una representación de las creencias religiosas de los escandinavos. Tales fragmentos literarios contienen muchos indicativos de la época transicional, en la que la confusión de la antigua y la nueva fe se hace aparente.
El clima y el escenario de las tierras en las que los nórdicos habitaban tuvo una gran influencia en la configuración de sus primeras ideas religiosas, al igual que en la disposición de su modo de vida. La mitología del Norte es grandiosa y trágica a un tiempo. Su tema principal es la lucha perpetua que existe entre las fuerzas de la Naturaleza beneficiosas contra las dañinas y, por tanto, no es de carácter elegante e idílico, como otras mitologías europeas.
Era natural que los peligros que conllevaban la caza y la pesca bajo los cielos nublados y el sufrimiento impuesto por los largos y fríos inviernos cuando el sol nunca brilla, hicieron a nuestros antepasados nórdicos a contemplar el frío y el hielo como espíritus malignos. Con igual razón, invocaban con especial fervor las influencias benignas del calor y la luz.
Con respecto a la religión, la mayoría de los pueblos meditan sobre el pasado lejano y el distante futuro: cómo empezó este mundo y qué había antes, cuáles son los límites del mundo y cómo están situados, cómo se creó al hombre, rara vez el por qué, cómo llegará el mundo a su fin y qué es lo que pasará después. Tales reflexiones son una potente fuente de mitos y también es así en el caso de los nórdicos.
Nuestros conocimientos sobre su religión dependen de tres fuentes principales. La primera de ellas es la Edda Poética, un grupo de textos más o menos relacionados, unos poemas de longitud media o corta. El núcleo de esta colección llena un manuscrito llamado Codex Regius (el Manuscrito Real). Contiene veintinueve poemas, once de ellos sobre temas mitológicos y dieciséis, junto con dos fragmentos, sobre héroes y heroínas de la antigüedad germánica.
Los poemas éddicos están más o menos estructurados en estrofas con un grado limitado de variantes métricas, por lo cual posee una apariencia muy homogénea. Algunos son narrativos, otros son poemas de pregunta y respuesta, diálogos entre seres sobrenaturales que sirven para dar información mítica. De vez en cuando hay una serie de estrofas que contienen sabiduría o proverbios atribuidos a una de las divinidades.
Está el caso del poema llamado Hávamál (el Discurso del Altísimo). Es una obra compleja, compuesta por secuencias de estrofas individuales que fueron reunidas bajo un único encabezamiento de una fecha temprana. Incorpora temas de gran antigüedad, probablemente de la Era Vikinga. Cuenta algo de la visión nórdica del mundo. Gran parte del poema está escrito en forma de proverbios, útiles consejos, pero algo pragmáticos, de cómo dirigir la vida. Se habla de la amistad, de sus obligaciones y beneficios, de los deberes de la hospitalidad, de la importancia de la prudencia en todo momento, de la necesidad de estar bien considerado por los demás, etc. Hay, en este poema, material mágico, cantos y hechizos y una secuencia narrativa de los acontecimientos.
La Edda en Prosa, compuesta por el escritor islandés Snorri Sturluson, es la segunda gran fuente de material mitológico escandinavo. El libro se distribuye en cuatro secciones: un prólogo; Gylfaginning (La Alucinación de Gylf); Skáldskaparmál (la Dicción de los Poetas) y el Háttatal (Recuento de Estrofas).
Finalmente, la tercena fuente que nos ayuda a recomponer la religión nórdica son los poemas escáldicos, con sus intrincadas composiciones y metáforas que aluden casi siempre de forma indirecta a las cosas o personas, por medio de los kenningar. No resulta sencillo sacar un conjunto coherente de la mitología escandinava de esta mezcla de fuentes de diferentes lugares y épocas y que responden a diferentes demandas literarias a su vez. Es mucho suponer que en toda Escandinavia se mantuvieran exactamente las mismas ideas y creencias, así como convicciones religiosas, sin variaciones. Hay una confusión de relatos: algunos pertenecen a secuencias claras, otros están aparentemente dispersos, sin ningún fin.
Es difícil establecer cuánto hay de auténtica leyenda nórdica y cuánto de invención puramente literaria. También es tema de debate qué papel juegan los mitos en las creencias nórdicas, ya que un mito en sí, se dice, usa algunas ideas populares que tratan de fenómenos históricos o naturales.
Entre los mayores mitos escandinavos están aquellos que explican el principio y final de este mundo, su distribución, la creación de los primeros humanos y las luchas entre el bien y el mal, como asuntos de vital importancia para sus vidas culturales. No es sorprendente que ninguno sea muy preciso. Es una mitología apropiada para una raza guerrera, en la que las matanzas y las traiciones son moneda corriente y en la que un hombre importante demuestra su grandeza luchando contra un destino que sabe inevitable.
Hoy no hay modo de saber en qué medida los mitos literarios representaban lo que los vikingos creyeron realmente o lo que guiaba sus actos en sus vidas diarias. Los vikingos mismos no hicieron constar detalles de su religión pagana y los cristianos que entraron en contacto con ellos estuvieron poco dispuestos a describir el paganismo o a darle crédito en modo alguno. Si lo mencionaban era generalmente en términos despectivos.
El único templo pagano sobre el cual tenemos una información detallada es el de Gamla Uppsala, en Suecia central, que fue descrito por el clérigo alemán Adam de Bremen en el siglo XI. Dice que todo el edificio era dorado. El templo contenía los ídolos de tres de sus dioses. Cada uno de ellos contaba con sus propios sacerdotes y la gente les ofrecía sacrificios para obtener beneficios apropiados.
Los eruditos modernos han tendido a quitar importancia a la magnitud de las celebraciones mayores tan prolijamente y, tal vez imaginativamente, descritas en las sagas y a poner de relieve en su lugar los aspectos más locales del culto.
Igual que los pueblos germánicos en general, los escandinavos no tenían una casta sacerdotal propiamente designada. El sacerdote también era un jefe seglar, la cabeza de una familia o de la sociedad local. Aquí las Sagas Islandesas son de especial importancia, aunque de nuevo su fecha tardía y fondo cristiano pueden hacer que su información sea poco fiable como documento histórico descriptivo de las creencias paganas antiguas. No obstante, dan a entender que la religión pagana nórdica estaba estrechamente unida al ciclo anual y a la jerarquía social seglar, como ocurre en el caso de los godar, en Islandia.
clase # 5 grado octavo,matematicas
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despues tomar la obcion problemas
luego toma la obcion revoltijo de problemas
despues tomar la obcion problemas
luego toma la obcion revoltijo de problemas
problemas grado sexto clase # 5 de matematicas
Actividad #7
Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
Nivel 1
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.-representa las sigurntes operaciones en un diagrama de Venn ,
(1) ;
(2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′
cuando sea necesario:
a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}
b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}
d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {n | n es natural y n es divisible por 5}
b) { | n es primo}
c) {2n | n es natural}
d) {r | r es racional y 0 < r < 1}
3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a) {n | n ∈ N y n2 = 9}
b) {x | x ∈ R y x2 = 9}
c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}
e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}
f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.
4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.
b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d) { a, e, i, o, u }
5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A ∪ B
b) A − B
c) Ac
d) Uc
e) B ∩U
f ) Bc ∩ (C − A)
g) (A ∩ B)c ∪ C
h) B ∩C
i) A ∪ C
j) A ∩ (B ∪ C)
k) (A ∩ B) ∪ C
l) A ∩ B) − C
m) (A ∪ B) − (C − B)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a) A ∪ B
b) A ∩C
c) (A ∪ B) ∩ Cc
d) A − B
e) C − D
f ) (B − D) ∪ (D − B)
1. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.
¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
2. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?
3. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?
7. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemáticas y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
8. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
Nivel 1
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.-representa las sigurntes operaciones en un diagrama de Venn ,
(1) ;
(2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′
cuando sea necesario:
a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}
b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}
d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {n | n es natural y n es divisible por 5}
b) { | n es primo}
c) {2n | n es natural}
d) {r | r es racional y 0 < r < 1}
3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a) {n | n ∈ N y n2 = 9}
b) {x | x ∈ R y x2 = 9}
c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}
e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}
f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.
4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.
b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d) { a, e, i, o, u }
5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A ∪ B
b) A − B
c) Ac
d) Uc
e) B ∩U
f ) Bc ∩ (C − A)
g) (A ∩ B)c ∪ C
h) B ∩C
i) A ∪ C
j) A ∩ (B ∪ C)
k) (A ∩ B) ∪ C
l) A ∩ B) − C
m) (A ∪ B) − (C − B)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a) A ∪ B
b) A ∩C
c) (A ∪ B) ∩ Cc
d) A − B
e) C − D
f ) (B − D) ∪ (D − B)
1. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.
¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
2. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?
3. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?
7. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemáticas y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
8. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
ejercicios de aplicacion clase # 4 grado octavo
Problemas
1). En la película "La jungla de cristal 2", el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa con 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven?
2). Tres amigos tienen 21 botes de coca-cola, 7 de ellos están llenos, 7 vacíos y 7 llenos hasta la mitad exactamente. ¿Cómo deben repartirse los botes para que los tres se lleven el mismo número de botes y la misma cantidad de coca-cola? ( No se puede trasvasar de un bote a otro)
3). ¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel, dando sólo tres cortes rectos?
4). Un excursionista sale de su casa a las 4 de la tarde para subir a una montaña. Hasta la base de la montaña el terreno es llano y avanza a 4 km/h, subiendo va a 3 km/h y bajando a 6 km/h. Si regresa a las 10 de la noche, ¿cuántos kms ha recorrido en total?
5). ¿Cuántas veces a lo largo de un día las agujas de un reloj forman un ángulo recto?
6). Tres cervezas, 7 refrescos y una ración de calamares cuestan 2800 pts; 4 cervezas, 10 refrescos y una ración cuestan 3400 pts. ¿Cuánto habrá que pagar por una cerveza, un refresco y una ración?
7). En un campo la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Sa sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para comerse toda la hierba en 96 días?
8). Una brigada está formada por 6 armadores y un carpintero. Cada armador gana 20.000 ptas y el carpintero 3.000 ptas. más que el salario medio de los miembros de la brigada incluído el mismo. ¿Cuánto ganaba el carpintero?
9) . Un coche va por una cartera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso.
Su sorpresa es enorme cuando al cabo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche?
1). En la película "La jungla de cristal 2", el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa con 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven?
2). Tres amigos tienen 21 botes de coca-cola, 7 de ellos están llenos, 7 vacíos y 7 llenos hasta la mitad exactamente. ¿Cómo deben repartirse los botes para que los tres se lleven el mismo número de botes y la misma cantidad de coca-cola? ( No se puede trasvasar de un bote a otro)
3). ¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel, dando sólo tres cortes rectos?
4). Un excursionista sale de su casa a las 4 de la tarde para subir a una montaña. Hasta la base de la montaña el terreno es llano y avanza a 4 km/h, subiendo va a 3 km/h y bajando a 6 km/h. Si regresa a las 10 de la noche, ¿cuántos kms ha recorrido en total?
5). ¿Cuántas veces a lo largo de un día las agujas de un reloj forman un ángulo recto?
6). Tres cervezas, 7 refrescos y una ración de calamares cuestan 2800 pts; 4 cervezas, 10 refrescos y una ración cuestan 3400 pts. ¿Cuánto habrá que pagar por una cerveza, un refresco y una ración?
7). En un campo la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Sa sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para comerse toda la hierba en 96 días?
8). Una brigada está formada por 6 armadores y un carpintero. Cada armador gana 20.000 ptas y el carpintero 3.000 ptas. más que el salario medio de los miembros de la brigada incluído el mismo. ¿Cuánto ganaba el carpintero?
9) . Un coche va por una cartera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso.
Su sorpresa es enorme cuando al cabo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche?
lunes, 31 de enero de 2011
multiplicacion y division de fraccionarios clase # 5 y 6
Multiplicación y división de fracciones
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Fracción generatriz
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Actividad # 1
Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
1) (+12/3) • (+4/5) =
2) (-4/5) • (+13/8) =
3) (+2/6) • (-16/9) =
4) (+8/4) • (-12/9) (-16/9) =
5) (-8/2) • (+10/4) =
6) (-6/9) • (-16/9) (-15/10) =
7) (+5/12) • (+20/5) =
8) (+5/8) (-16/9) • (-12/7) =
9) (-8/3) • (-26/2) =
10) (+31/3) • (-16/9) (-10/4) =
11) (+60/2) •(-16/9) (-3/90) =
12) (+54/23) • (-4/12) =
13) (+10/23) (-16/9) • (+8/5) =
14) (-64/2) •(-16/9) (+45/4) =
15) (+10/2) • (-6/3) =
16) (+7/3) • (-9/8) =
17) (-20/3) • (+20/3) =
18) (-89/3) •(-16/9) (-16/5) =
19) (+3/6) • (+36/4) =
20) (+14/8) •(-16/9) (-30/5) =
21) (+1/2) (-4/7) • (-30/5) =
22) (+1/2) •(-16/9) (-21/9) =
23) (+69/4) •(+1/2) (-4/7) =
24) (+3/4) (+1/2) • (-54/4) =
Actividad # 2
1). (+10/2) : (+2/4) =
2). (-44/5) : (+11/8) =
3). (+36/3) : (-4/9) =
4) (+15/4) : (-37/3) =
5). (-80/9) : (+4/8) =
6). (-66/2) : (-11/2) =
7). (+25/3) : (+5/3) =
8). (+56/2) : (-1/2) =
9). (-82/2) : (-2/4) =
10). (+30/4) : (-10/7) =
11). (+60/5) : (-3/4) =
12). (+84/3) : (-4/5) =
13). (+12/4) : (+4/5) =
14). (-48/3) : (+12/3) =
15) (+11/4) : (-1/6) =
16). (+16/5) : (-2/9) =
17). (-22/8) : (+11/8) =
18). (-88/8) : (-4/5) =
19). (+12/5) : (+3/2) =
20). (+14/25) : (-7/3) =
21). (-3/14) : (-3/16) =
Actividad # 3
1) Pasar a fracción:
2) Realiza las siguientes operaciones con potencias:
3) Opera:
4) Efectúa
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Fracción generatriz
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Actividad # 1
Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
1) (+12/3) • (+4/5) =
2) (-4/5) • (+13/8) =
3) (+2/6) • (-16/9) =
4) (+8/4) • (-12/9) (-16/9) =
5) (-8/2) • (+10/4) =
6) (-6/9) • (-16/9) (-15/10) =
7) (+5/12) • (+20/5) =
8) (+5/8) (-16/9) • (-12/7) =
9) (-8/3) • (-26/2) =
10) (+31/3) • (-16/9) (-10/4) =
11) (+60/2) •(-16/9) (-3/90) =
12) (+54/23) • (-4/12) =
13) (+10/23) (-16/9) • (+8/5) =
14) (-64/2) •(-16/9) (+45/4) =
15) (+10/2) • (-6/3) =
16) (+7/3) • (-9/8) =
17) (-20/3) • (+20/3) =
18) (-89/3) •(-16/9) (-16/5) =
19) (+3/6) • (+36/4) =
20) (+14/8) •(-16/9) (-30/5) =
21) (+1/2) (-4/7) • (-30/5) =
22) (+1/2) •(-16/9) (-21/9) =
23) (+69/4) •(+1/2) (-4/7) =
24) (+3/4) (+1/2) • (-54/4) =
Actividad # 2
1). (+10/2) : (+2/4) =
2). (-44/5) : (+11/8) =
3). (+36/3) : (-4/9) =
4) (+15/4) : (-37/3) =
5). (-80/9) : (+4/8) =
6). (-66/2) : (-11/2) =
7). (+25/3) : (+5/3) =
8). (+56/2) : (-1/2) =
9). (-82/2) : (-2/4) =
10). (+30/4) : (-10/7) =
11). (+60/5) : (-3/4) =
12). (+84/3) : (-4/5) =
13). (+12/4) : (+4/5) =
14). (-48/3) : (+12/3) =
15) (+11/4) : (-1/6) =
16). (+16/5) : (-2/9) =
17). (-22/8) : (+11/8) =
18). (-88/8) : (-4/5) =
19). (+12/5) : (+3/2) =
20). (+14/25) : (-7/3) =
21). (-3/14) : (-3/16) =
Actividad # 3
1) Pasar a fracción:
2) Realiza las siguientes operaciones con potencias:
3) Opera:
4) Efectúa
problemas de suma de fracciones grado septimo clase # 3
Problemas
1) Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?
2) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
3) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
4) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
a) El número de votos obtenidos por cada partido.
b)El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.
5) Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
6) Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.
7) Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
8) Una persona gastó del dinero que tenía.
Al día siguiente gastó del dinero que le quedó el día anterior.
Al siguiente día volvió a gastar del dinero que le quedó el último día y vio que en el bolsillo le quedaban 1000€.
9) ¿Cuántas botellas de34 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
10) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 34
de litro. ¿Cuántos litros
de agua había en el bidón?
11) Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 38 del total, mientras que
El segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
12) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1
20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se
pueden llenar con el contenido de una botella de 34 de litro?
11) Jacinto se come los 27 de una tarta y Pepita los 35
del resto. ¿Qué fracción se ha comido
Pepita? ¿Qué fracción queda?
12) De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 16 del total y después 34 del total. ¿Cuántos litros quedan?
13) Compramos un televisor por 1.300 € y pagamos 14
al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?
14) De un depósito que estaba lleno se han sacado 23
Del total y, después, 15 del total. Sabiendo
Que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?
15) Dos atletas llevan recorrido los 312 y los 8
32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los dos va delante?
16) Un tonel de vino está lleno hasta los 7
11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros
Para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
17) En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en
Total un coche que ya ha recorrido 9 40?
18) De una cesta de manzanas se pudren 23. Comemos las 45
Del resto y las 25 restantes las Utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?
19) Entre 7 personas se reparten 49 De una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total
de la herencia?
20) Una persona ha cosechado durante la mañana 13
De un campo y por la tarde la mitad del resto.
Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?
1) Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?
2) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
3) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
4) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
a) El número de votos obtenidos por cada partido.
b)El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.
5) Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
6) Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.
7) Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
8) Una persona gastó del dinero que tenía.
Al día siguiente gastó del dinero que le quedó el día anterior.
Al siguiente día volvió a gastar del dinero que le quedó el último día y vio que en el bolsillo le quedaban 1000€.
9) ¿Cuántas botellas de34 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
10) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 34
de litro. ¿Cuántos litros
de agua había en el bidón?
11) Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 38 del total, mientras que
El segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
12) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1
20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se
pueden llenar con el contenido de una botella de 34 de litro?
11) Jacinto se come los 27 de una tarta y Pepita los 35
del resto. ¿Qué fracción se ha comido
Pepita? ¿Qué fracción queda?
12) De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 16 del total y después 34 del total. ¿Cuántos litros quedan?
13) Compramos un televisor por 1.300 € y pagamos 14
al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?
14) De un depósito que estaba lleno se han sacado 23
Del total y, después, 15 del total. Sabiendo
Que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?
15) Dos atletas llevan recorrido los 312 y los 8
32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los dos va delante?
16) Un tonel de vino está lleno hasta los 7
11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros
Para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
17) En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en
Total un coche que ya ha recorrido 9 40?
18) De una cesta de manzanas se pudren 23. Comemos las 45
Del resto y las 25 restantes las Utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?
19) Entre 7 personas se reparten 49 De una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total
de la herencia?
20) Una persona ha cosechado durante la mañana 13
De un campo y por la tarde la mitad del resto.
Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?
suma y resata de fracciones clase # 2
Operaciones con fracciones
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
4
6
9
7
12
7
4
7
+ =
20
7
- =
23
7
14
7
+
15
11
10
11
+ =
21
11
- =
43
11
29
11
+
21
13
14
13
+ =
10
13
- =
89
13
78
13
+
31
17
41
17
+ =
38
17
- =
103
19
94
19
6
7
+
-
3
7
=
9 - 3
7
=
3
6
+
8
6
15
6
= =
4 + 3 + 8
6
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Pág. 1
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
4 En el cumpleaños de Ana se dividió una tarta en 12 partes iguales. Ana se comió
de tarta, Luisa se comió de tarta, Pedro se comió de tarta y Carlos se
comió de tarta.
a) ¿Qué fracción de tarta se comieron entre los cuatro amigos?
b) ¿Qué fracción de tarta quedó?
9
2
• +
13
2
-
4
2
+
1
2
=
8
3
• -
7
3
-
4
3
+
12
3
=
9
7
• -
5
7
+
3
7
-
1
7
+
3
7
=
14
11
• -
3
11
+
1
11
+
2
11
+
8
11
=
21
13
2
12
3
12
4
12
1
12
• -
4
13
-
1
13
+
11
13
+
2
13
=
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Pág. 2
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos
cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción
por el producto de los denominadores de las demás.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados las
siguientes fracciones.
y
3
2
5
4
1
5
60
40
50
40
8
40
4
5
2
10
y
3
8
2
3
,
1
2
1
3
y
1
4
,
2
3
3
5
y
4
7
,
3
5
4
9
y
1
2
,
2
7
3
8
y
1
5
3
2
60
40
= = ;
3 · 4 · 5
2 · 4 · 5
5
4
50
40
= = ;
5 · 2 · 5
2 · 4 · 5
1
5
8
40
= =
1 · 2 · 4
2 · 4 · 5
Las fracciones buscadas son:
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 3
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR
POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común
múltiplo se procede así:
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el
denominador común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el
cociente obtenido se multiplica por el numerador.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
1
4
3
5
1
8
10
40
24
40
5
40
,
2
3
1
2
y
4
5
,
4
3
1
8
y
8
9
,
2
5
4
7
y
1
9
,
3
7
4
9
y
1
10
1
4
10
40
= = ;
1 · 10
40
3
5
24
40
= = ;
3 · 8
40
1
8
5
40
= =
1 · 5
40
Las fracciones buscadas son:
m.c.m. (4, 5, 8) = 40
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 4
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador:
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
1
5
4
3
+ =
1
2
+
2
3
1
9
+ =
3
5
+
4
7
2
4
+ =
1
8
+
3
2
1
5
+ =
1
10
+
3
8
1
4
+ =
3
16
4
5
+
1
3
+
1
2
49
30
=
4 · 6
30
+
1 · 10
30
+
1 · 15
30
=
m.c.m. (5, 3, 2) = 30
2
3
-
1
4
5
12
=
2 · 4
12
-
1 · 3
12
=
m.c.m. (3, 4) = 12
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Pág. 5
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
-
4
5
1
7
=
-
3
10
1
12
=
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
+
1
2
1
3
-
+
1
3
1
6
+
+
1
4
1
5
=
-
1
4
1
8
=
-
2
3
4
7
=
-
9
15
3
8
=
4 Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kg que utilizan de cada
tipo de café y calcula:
La fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y
en la mezcla B.
Mezcla A
1/2 de kg Brasil
1/4 de kg Guinea
1/5 de kg Venezuela
Resto Colombia
Mezcla B
1/8 de kg Brasil
1/5 de kg Guinea
1/6 de kg Venezuela
Resto Colombia
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Pág. 6
1
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos de fracciones.
2 Calcula.
x
2
3
1
4
x
3
5
x
1
8
2
3
x
2
9
x
3
7
2
9
x
=
=
=
=
1
8
x
4
7
5
6
x
9
5
4
5
x
2
3
x
1
4
8
60
4 x 2 x 1
5 x 3 x 4
= =
x
1
9
3
11
x = =
4
7
x
3
2
de
1
2
de x
2
3
2
3
60
1
de
3
4
de
3
5
de
5
7
de
60
90
490
4
7
= x =
10
3
1
2
10
3
10
6
= =
120
3
= 40
=
2
9
=
=
9
6
=
9
10
x
4
6
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Pág. 7
1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción por otra fracción , se multiplica la fracción
por la fracción inversa de , o lo que es lo mismo,
se multiplican en cruz los términos de las fracciones
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes.
3
7
:
2
8
9
12
:
7
5
4
11
:
=
=
=
=
3
16
4
17
:
3
16
4
5
:
3
7
=
=
7
9
:
2
12
a
b
c
d
a
b
c
d
a x d
b x c
c
d
c
d
d
c
a
b
de x =
4
5
x = : =
1
2
1
2
=
5
8
1 x 5
2 x 4
4
5
Inversa
Ejemplo
: = .
4
5
3
8
32
15
4 x 8
5 x 3
: = =
de x =
2
3
x =
3
8
de x =
3
11
x =
7
12
de x = 30
5
10
30
1
= :
5
10
x =
de x = 48
6
12
x =
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Pág. 8
PROBLEMAS DE FRACCIONES
1 Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido
los de un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los del trayecto, y en la
tercera hora, ha recorrido los del trayecto. Calcula:
a) La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.
b) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.
c) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.
5
18
7
25
11
45
2 Un depósito estaba lleno de agua. Primero, se sacaron de su contenido y después
se sacó del agua que quedó en el depósito. Calcula:
a) La fracción de contenido que quedó después de sacar Ios del contenido.
b) La fracción de contenido que quedó después de sacar del agua que quedaba.
c) Los Iitros de agua que quedaron en el depósito, si el depósito contenía
120 litros de agua.
1
6
5
8
1
6
5
8
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Pág. 9
3 En la estantería A hay 60 botellas de de litro cada una y en la estantería B hay
120 botellas de de litro cada una. Calcula:
a) Los litros que contienen las botellas de cada estantería.
b) El número de botellas de de litro que se llenan con 75 litros.
1
4
1
5
3
4
4 Un bidón contiene 600 litros de leche. La mitad se envasa en botellas de de
litro; 200 litros se envasan en botellas de de litro, y el resto de la leche se envasa
en botellas de de litro. Calcula:
a) El número de botellas de de litro que se llenan.
b) El número de botellas de de litro que se llenan.
c) El número de botellas de de litro que se llenan.
1
4
1
3
1
4
1
2
1
2
5 Un peatón ha andado 4 km en de hora.
¿Cuántos kilómetros andará en 1 hora?
2
3
1
3
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Pág. 10
6 Un pueblo tiene 3.000 habitantes. Los de los habitantes tienen menos
de 20 años y los de los habitantes tienen entre 20 y 30 años. Calcula:
a) El número de habitantes con menos de 20 años que tiene el pueblo.
b) El número de habitantes entre 20 y 30 años que tiene el pueblo.
c) La fracción del total de habitantes que tiene menos de 30 años.
7
60
19
50
7 Una finca tiene una superficie de 2.016 m2. Los de la finca están sembrados
de trigo, los de la finca están sembrados de cebada y el resto está sin
sembrar. Calcula:
a) La fracción de superficie que está sembrada.
b) La fracción de superficie que está sin sembrar.
c) Los metros cuadrados que hay sembrados y los metros cuadrados que hay
sin sembrar.
35
48
16
63
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Pág. 11
8 En un concurso de dibujo se presentaron 90 participantes; de los participantes
obtuvieron como premio una bicicleta; de los participantes obtuvieron como
premio un juego, y el resto de los participantes obtuvieron un cuento. Calcula:
a) La fracción de participantes que obtuvieron un cuento.
b) El número de participantes que obtuvieron cada premio.
1
9
1
18
7 Un comerciante tiene 120 kilos de café. Ha envasado 40 bolsas de de kilo cada
una, 28 bolsas de de kilo cada una y 20 bolsas de de kilo cada una. Calcula:
a) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
b) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
c) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
d) El número de kilos de café que le quedan todavía por envasar.
3
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
2
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1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
4
6
9
7
12
7
4
7
+ =
20
7
- =
23
7
14
7
+
15
11
10
11
+ =
21
11
- =
43
11
29
11
+
21
13
14
13
+ =
10
13
- =
89
13
78
13
+
31
17
41
17
+ =
38
17
- =
103
19
94
19
6
7
+
-
3
7
=
9 - 3
7
=
3
6
+
8
6
15
6
= =
4 + 3 + 8
6
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Pág. 1
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
4 En el cumpleaños de Ana se dividió una tarta en 12 partes iguales. Ana se comió
de tarta, Luisa se comió de tarta, Pedro se comió de tarta y Carlos se
comió de tarta.
a) ¿Qué fracción de tarta se comieron entre los cuatro amigos?
b) ¿Qué fracción de tarta quedó?
9
2
• +
13
2
-
4
2
+
1
2
=
8
3
• -
7
3
-
4
3
+
12
3
=
9
7
• -
5
7
+
3
7
-
1
7
+
3
7
=
14
11
• -
3
11
+
1
11
+
2
11
+
8
11
=
21
13
2
12
3
12
4
12
1
12
• -
4
13
-
1
13
+
11
13
+
2
13
=
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Pág. 2
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos
cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción
por el producto de los denominadores de las demás.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados las
siguientes fracciones.
y
3
2
5
4
1
5
60
40
50
40
8
40
4
5
2
10
y
3
8
2
3
,
1
2
1
3
y
1
4
,
2
3
3
5
y
4
7
,
3
5
4
9
y
1
2
,
2
7
3
8
y
1
5
3
2
60
40
= = ;
3 · 4 · 5
2 · 4 · 5
5
4
50
40
= = ;
5 · 2 · 5
2 · 4 · 5
1
5
8
40
= =
1 · 2 · 4
2 · 4 · 5
Las fracciones buscadas son:
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 3
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR
POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común
múltiplo se procede así:
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el
denominador común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el
cociente obtenido se multiplica por el numerador.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
1
4
3
5
1
8
10
40
24
40
5
40
,
2
3
1
2
y
4
5
,
4
3
1
8
y
8
9
,
2
5
4
7
y
1
9
,
3
7
4
9
y
1
10
1
4
10
40
= = ;
1 · 10
40
3
5
24
40
= = ;
3 · 8
40
1
8
5
40
= =
1 · 5
40
Las fracciones buscadas son:
m.c.m. (4, 5, 8) = 40
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 4
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador:
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
1
5
4
3
+ =
1
2
+
2
3
1
9
+ =
3
5
+
4
7
2
4
+ =
1
8
+
3
2
1
5
+ =
1
10
+
3
8
1
4
+ =
3
16
4
5
+
1
3
+
1
2
49
30
=
4 · 6
30
+
1 · 10
30
+
1 · 15
30
=
m.c.m. (5, 3, 2) = 30
2
3
-
1
4
5
12
=
2 · 4
12
-
1 · 3
12
=
m.c.m. (3, 4) = 12
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Pág. 5
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
-
4
5
1
7
=
-
3
10
1
12
=
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
+
1
2
1
3
-
+
1
3
1
6
+
+
1
4
1
5
=
-
1
4
1
8
=
-
2
3
4
7
=
-
9
15
3
8
=
4 Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kg que utilizan de cada
tipo de café y calcula:
La fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y
en la mezcla B.
Mezcla A
1/2 de kg Brasil
1/4 de kg Guinea
1/5 de kg Venezuela
Resto Colombia
Mezcla B
1/8 de kg Brasil
1/5 de kg Guinea
1/6 de kg Venezuela
Resto Colombia
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1
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos de fracciones.
2 Calcula.
x
2
3
1
4
x
3
5
x
1
8
2
3
x
2
9
x
3
7
2
9
x
=
=
=
=
1
8
x
4
7
5
6
x
9
5
4
5
x
2
3
x
1
4
8
60
4 x 2 x 1
5 x 3 x 4
= =
x
1
9
3
11
x = =
4
7
x
3
2
de
1
2
de x
2
3
2
3
60
1
de
3
4
de
3
5
de
5
7
de
60
90
490
4
7
= x =
10
3
1
2
10
3
10
6
= =
120
3
= 40
=
2
9
=
=
9
6
=
9
10
x
4
6
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1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción por otra fracción , se multiplica la fracción
por la fracción inversa de , o lo que es lo mismo,
se multiplican en cruz los términos de las fracciones
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes.
3
7
:
2
8
9
12
:
7
5
4
11
:
=
=
=
=
3
16
4
17
:
3
16
4
5
:
3
7
=
=
7
9
:
2
12
a
b
c
d
a
b
c
d
a x d
b x c
c
d
c
d
d
c
a
b
de x =
4
5
x = : =
1
2
1
2
=
5
8
1 x 5
2 x 4
4
5
Inversa
Ejemplo
: = .
4
5
3
8
32
15
4 x 8
5 x 3
: = =
de x =
2
3
x =
3
8
de x =
3
11
x =
7
12
de x = 30
5
10
30
1
= :
5
10
x =
de x = 48
6
12
x =
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PROBLEMAS DE FRACCIONES
1 Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido
los de un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los del trayecto, y en la
tercera hora, ha recorrido los del trayecto. Calcula:
a) La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.
b) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.
c) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.
5
18
7
25
11
45
2 Un depósito estaba lleno de agua. Primero, se sacaron de su contenido y después
se sacó del agua que quedó en el depósito. Calcula:
a) La fracción de contenido que quedó después de sacar Ios del contenido.
b) La fracción de contenido que quedó después de sacar del agua que quedaba.
c) Los Iitros de agua que quedaron en el depósito, si el depósito contenía
120 litros de agua.
1
6
5
8
1
6
5
8
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3 En la estantería A hay 60 botellas de de litro cada una y en la estantería B hay
120 botellas de de litro cada una. Calcula:
a) Los litros que contienen las botellas de cada estantería.
b) El número de botellas de de litro que se llenan con 75 litros.
1
4
1
5
3
4
4 Un bidón contiene 600 litros de leche. La mitad se envasa en botellas de de
litro; 200 litros se envasan en botellas de de litro, y el resto de la leche se envasa
en botellas de de litro. Calcula:
a) El número de botellas de de litro que se llenan.
b) El número de botellas de de litro que se llenan.
c) El número de botellas de de litro que se llenan.
1
4
1
3
1
4
1
2
1
2
5 Un peatón ha andado 4 km en de hora.
¿Cuántos kilómetros andará en 1 hora?
2
3
1
3
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6 Un pueblo tiene 3.000 habitantes. Los de los habitantes tienen menos
de 20 años y los de los habitantes tienen entre 20 y 30 años. Calcula:
a) El número de habitantes con menos de 20 años que tiene el pueblo.
b) El número de habitantes entre 20 y 30 años que tiene el pueblo.
c) La fracción del total de habitantes que tiene menos de 30 años.
7
60
19
50
7 Una finca tiene una superficie de 2.016 m2. Los de la finca están sembrados
de trigo, los de la finca están sembrados de cebada y el resto está sin
sembrar. Calcula:
a) La fracción de superficie que está sembrada.
b) La fracción de superficie que está sin sembrar.
c) Los metros cuadrados que hay sembrados y los metros cuadrados que hay
sin sembrar.
35
48
16
63
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8 En un concurso de dibujo se presentaron 90 participantes; de los participantes
obtuvieron como premio una bicicleta; de los participantes obtuvieron como
premio un juego, y el resto de los participantes obtuvieron un cuento. Calcula:
a) La fracción de participantes que obtuvieron un cuento.
b) El número de participantes que obtuvieron cada premio.
1
9
1
18
7 Un comerciante tiene 120 kilos de café. Ha envasado 40 bolsas de de kilo cada
una, 28 bolsas de de kilo cada una y 20 bolsas de de kilo cada una. Calcula:
a) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
b) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
c) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
d) El número de kilos de café que le quedan todavía por envasar.
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producto cartesiano clase #4 gardo sexto
Temas: diferencia simétrica y producto cartesiano
DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
la diferencia simétrica de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos no son comunes formando un nuevo conjunto llamado diferencia simétrica.
Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos
Δ el símbolo de la diferencia simétrica es: Δ
Δ la diferencia simétrica del conjunto a y el conjunto b, se representa como: A Δ B
Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva
Sean dos conjuntos a y b.
Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}
La diferencia simétrica posible se representa así A Δ B = {j, u, d, e, m, a, n}
Diagrama de veen de una diferencia simétrica de conjuntos
Sean a y b dos conjuntos cualesquiera, su diferencia simétrica estará representada por el área rellenada de color:
la diferencia simétrica A Δ B
A B
producto cartesiano
definición
dados los conjuntos a y b , su producto cartesiano ( a × b ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a a y el segundo a b :
Sean:
A = { a , b , c }
B = { d , e }
Entonces su producto cartesiano es:
A × B = { ( a , d ) , ( a , e ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( c , d ) , ( c , e ) }
Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
ACTIVIDAD: 6
Sean los conjuntos
F = {2, 6 , 7,5 }
G = {a, b, c, d , e }
D = {a, b, c, d, e,f }
C = {2, 3, 4,5,6}
N = {a, b, c, d, e, f, h}
M = {2, 3, 4, 5,6}
Hallar
F×G=
D×C=
N×M=
2). Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
3). Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que #
# , # ,# , #
se pide calcular:
#
#
#
#
#
4). Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado , conociéndose los resultados la tabla siguiente,.
Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres
Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115
Responda:
El número de personas consultadas
El número de personas que sólo consumen la marca A
El número de personas que no consumen las marcas A o C.
El número de personas que consumen al menos dos marcas.
De todos los empleados de una firma, 30% optaron por un plan de asistencia médica. La firma tiene la casa matriz en la capital y sólo dos filiales, una en Antofagasta y la otra en Calama. 45% de los empleados trabajan en la casa matriz y 20% de los empleados trabajan en la filial de Antofagasta. Sabiendo que el 20% de los empleados de la capital optaron por el plan de asistencia médica y que 35% de los empleados de la filial de Antofagasta lo hicieron ¿cuál es el porcentaje de los empleados de la filial de Calama que optaron por el plan?
En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:
¿Cuántos individuos tiene la comunidad?
¿Cuántos individuos son de raza amarilla?
6) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "áscaris" . Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A y B.
El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.
El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.
El paciente no tiene las enfermedades descritas.
El paciente tiene sólo tifoidea.
DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
la diferencia simétrica de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos no son comunes formando un nuevo conjunto llamado diferencia simétrica.
Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos
Δ el símbolo de la diferencia simétrica es: Δ
Δ la diferencia simétrica del conjunto a y el conjunto b, se representa como: A Δ B
Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva
Sean dos conjuntos a y b.
Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}
La diferencia simétrica posible se representa así A Δ B = {j, u, d, e, m, a, n}
Diagrama de veen de una diferencia simétrica de conjuntos
Sean a y b dos conjuntos cualesquiera, su diferencia simétrica estará representada por el área rellenada de color:
la diferencia simétrica A Δ B
A B
producto cartesiano
definición
dados los conjuntos a y b , su producto cartesiano ( a × b ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a a y el segundo a b :
Sean:
A = { a , b , c }
B = { d , e }
Entonces su producto cartesiano es:
A × B = { ( a , d ) , ( a , e ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( c , d ) , ( c , e ) }
Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
ACTIVIDAD: 6
Sean los conjuntos
F = {2, 6 , 7,5 }
G = {a, b, c, d , e }
D = {a, b, c, d, e,f }
C = {2, 3, 4,5,6}
N = {a, b, c, d, e, f, h}
M = {2, 3, 4, 5,6}
Hallar
F×G=
D×C=
N×M=
2). Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
3). Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que #
# , # ,# , #
se pide calcular:
#
#
#
#
#
4). Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado , conociéndose los resultados la tabla siguiente,.
Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres
Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115
Responda:
El número de personas consultadas
El número de personas que sólo consumen la marca A
El número de personas que no consumen las marcas A o C.
El número de personas que consumen al menos dos marcas.
De todos los empleados de una firma, 30% optaron por un plan de asistencia médica. La firma tiene la casa matriz en la capital y sólo dos filiales, una en Antofagasta y la otra en Calama. 45% de los empleados trabajan en la casa matriz y 20% de los empleados trabajan en la filial de Antofagasta. Sabiendo que el 20% de los empleados de la capital optaron por el plan de asistencia médica y que 35% de los empleados de la filial de Antofagasta lo hicieron ¿cuál es el porcentaje de los empleados de la filial de Calama que optaron por el plan?
En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:
¿Cuántos individuos tiene la comunidad?
¿Cuántos individuos son de raza amarilla?
6) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "áscaris" . Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A y B.
El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.
El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.
El paciente no tiene las enfermedades descritas.
El paciente tiene sólo tifoidea.
operaciones entre conjuntos clase 2 y 3
CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
Actividad # 3
m o k y p v
r w m w u q u w o u q n a r q p
h
m o g c h e
i q i
c d w h i m r x h n q v o
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c
o
m
p
l
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h b m f r n n i n
q i k t c c
o f a l b u j m
t y n j e p w p k k v a w b a
j o n y f a l q
Buscar las siguientes palabras
Intersección
Unión
Universal
Conjunto
Diferencia
Complemento
Subconjunto
Potencia
Simétrica
veen
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B - C c) A – B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a }
Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
Actividad: 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticales
2. Cuántos alumnos estudian inglés o francés de acuerdo con la pregunta 7 del taller #4
3. Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son .
7. dados dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. se le llama
8. capital de Colombia
9. capital de Rusia
12. la operación entre dos conjuntos que es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se llama
13. Los diagramas que son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, se llaman diagramas de .
Horizontales
1. estados unidos
4. la operación entre dos conjuntos que da como resultado los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se llama
5. capital de Australia
6. capital de corea del sur
10. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama
11. capital del Japón
14. Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso
15. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama conjunto de
Actividad # 5
1. Sean los conjuntos Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Dados los conjuntos Obtenga un conjunto X tal que
3. Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando ejemplos numéricos):
a)
b)
c)
d)
4. Sea . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Dado los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # , determine el número de subconjuntos de
6. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica.
HABITO DE FUMAR
SI NO
Bronquitis Presión Sistólica Presión Sistólica
ALTA NORMAL ALTA NORMAL
SI 400 300 150 100
NO 200 50 40 30
a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis
b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis?
c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?
7. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.
m o k y p v
r w m w u q u w o u q n a r q p
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m o g c h e
i q i
c d w h i m r x h n q v o
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g a m p d g x j i
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q i k t c c
o f a l b u j m
t y n j e p w p k k v a w b a
j o n y f a l q
Buscar las siguientes palabras
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
Actividad # 3
m o k y p v
r w m w u q u w o u q n a r q p
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h b m f r n n i n
q i k t c c
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j o n y f a l q
Buscar las siguientes palabras
Intersección
Unión
Universal
Conjunto
Diferencia
Complemento
Subconjunto
Potencia
Simétrica
veen
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B - C c) A – B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a }
Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
Actividad: 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticales
2. Cuántos alumnos estudian inglés o francés de acuerdo con la pregunta 7 del taller #4
3. Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son .
7. dados dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. se le llama
8. capital de Colombia
9. capital de Rusia
12. la operación entre dos conjuntos que es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se llama
13. Los diagramas que son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, se llaman diagramas de .
Horizontales
1. estados unidos
4. la operación entre dos conjuntos que da como resultado los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se llama
5. capital de Australia
6. capital de corea del sur
10. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama
11. capital del Japón
14. Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso
15. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama conjunto de
Actividad # 5
1. Sean los conjuntos Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Dados los conjuntos Obtenga un conjunto X tal que
3. Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando ejemplos numéricos):
a)
b)
c)
d)
4. Sea . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Dado los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # , determine el número de subconjuntos de
6. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica.
HABITO DE FUMAR
SI NO
Bronquitis Presión Sistólica Presión Sistólica
ALTA NORMAL ALTA NORMAL
SI 400 300 150 100
NO 200 50 40 30
a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis
b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis?
c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?
7. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.
m o k y p v
r w m w u q u w o u q n a r q p
h
m o g c h e
i q i
c d w h i m r x h n q v o
e
c
o
m
p
l
e
m
e
n
t
o
p m i f t b e o u
c t
t
e f s y j n
c w t
t o s e r y x i a u n
t e
k
h o o w m u y y e
a c
k j i a n h e h i
s n
o
o s x i e h p d r
s o
v h a s
f q j e o
j c
b
r s p s t h e u s
a n
y u d
i
f
e
r
e
n
c
i
a
j a w f x t t m e
j j
u j g m
p k i p i d a
d
d u f o b f s a c
j u
p k c e
n t l q a m b w
x w v e p s
u
b
c
o
n
j
u
n
t
o
p o g o i i g
g a m p d g x j i
u t
n x v r
p t k g n t t o
k v k t p c c x o
x o
n u
n
i
v
e
r
s
a
l
e y
h b m f r n n i n
q i k t c c
o f a l b u j m
t y n j e p w p k k v a w b a
j o n y f a l q
Buscar las siguientes palabras
planeacion de matematicas grado octavo primer periodo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARINA ORTH
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: octavo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
24 al 28 de enero
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 1 se realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Clase # 2 y 3 realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Luego se realizaran ejercicios los cuales contendrán crucigramas y otras actividades
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
31 de enero al 4 de febrero.
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 5 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 6 explicación sobre el conjunto de los números racionales e irracionales
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
7 al 11 de febrero
ACTIVIDADES
Clase #7 Expresiones algebraicas Explicación y solución de preguntas
Clase #8 y 9 suma y resta de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (DEL 14 AL 18 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
Clase # 10 suma y resta de polinomios
clase #11 y 12 multiplicacion de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5(20 AL 24 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
clase #13 multiplicacion de polinomios
clase #14 potenciacion de monomios
clase #15 cocientes notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (27 AL
ACTIVIDADES
clase #16 y 17 cocientes notables
clase#18 productos notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
clase# 19 y 20 productos notables
CLASE#21 PRODUCTOS NOTABLES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
CLASE#22,23 Y 24 DIVISION DE POLINOMIOS
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
CLASE#25, 26 REGLA DE RUFFINI
CLASE# 27 REGLA DE RUFFINI
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
CLASE#28,29,30 FACTORIZACION DE POLINOMIOS(FACTOR COMUN MONOMIO),FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS,DIFERENCIA DE CUADRADOS,TRINOMIO CUADRADO PERFECTO)
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: octavo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
24 al 28 de enero
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 1 se realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Clase # 2 y 3 realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Luego se realizaran ejercicios los cuales contendrán crucigramas y otras actividades
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
31 de enero al 4 de febrero.
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 5 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 6 explicación sobre el conjunto de los números racionales e irracionales
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
7 al 11 de febrero
ACTIVIDADES
Clase #7 Expresiones algebraicas Explicación y solución de preguntas
Clase #8 y 9 suma y resta de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (DEL 14 AL 18 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
Clase # 10 suma y resta de polinomios
clase #11 y 12 multiplicacion de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5(20 AL 24 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
clase #13 multiplicacion de polinomios
clase #14 potenciacion de monomios
clase #15 cocientes notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (27 AL
ACTIVIDADES
clase #16 y 17 cocientes notables
clase#18 productos notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
clase# 19 y 20 productos notables
CLASE#21 PRODUCTOS NOTABLES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
CLASE#22,23 Y 24 DIVISION DE POLINOMIOS
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
CLASE#25, 26 REGLA DE RUFFINI
CLASE# 27 REGLA DE RUFFINI
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SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
CLASE#28,29,30 FACTORIZACION DE POLINOMIOS(FACTOR COMUN MONOMIO),FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS,DIFERENCIA DE CUADRADOS,TRINOMIO CUADRADO PERFECTO)
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domingo, 30 de enero de 2011
planeacion grado septimo primer periodo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARINA ORTH
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: septimo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No.1(24 al 28 de enero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de fracción y análisis de preguntas sobre las fracciones
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 suma y resta de números fraccionarios. Se explicara este tema.
Luego se solucionara un taller sobre suma y resta de números fraccionarios en la clase #2, en la clase # 3 se soluciona un crucigrama y se realizan problemas de aplicación de la suma de números fraccionarios .
Y se dejara una actividad de tarea sobre problemas con números fraccionarios.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2 (31 de enero al 4 de febrero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre suma de fracciones y después se realizara una evaluación
Clase # 5 durante esta clase se explicara la multiplicación y la división de números fraccionarios y después se realizara un taller.
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller de problemas de aplicación sobre la multiplicación y la división de números fraccionarios .
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3 (del 7 al 11 de febrero)
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 durante esta clase se explicara la potenciacion y radicacion de fraccionarios para lo cual se contara con crucigrnas y otras actividades)
clase # 9 solucion de problemas haciendo el uso de la potenciacion y radicacion.
.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (del 14 al 18 de febrero)
ACTIVIDADES
clase#10 numeros enteros explicacion del concepto de numeros enteros, valor absoluto y orden en los enteros
Clase # 11 y 12 suma y resta de numeros enteros durante esta clase se explicara este tema se utilizaran videos sobre la suma y despues se realizara un taller el cual constara de crucigramas y sopa de letras
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5 (del 21 al 25 de febrero)
clase#13 solucion de problemas de aplicacion de la suma y la resta
clase#14 y 15 se explico multiplicacion y division de numeros enteros se utizaran videos,se realizaran talleres de enteros enteros.
clase #16 se explico la potenciacion y la radicacion de numeros enteros y se realizaron ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (del 28 al 4 de marzo)
clase # 17 y 18 se realizo taller sobre la potenciacion y la radicacion de numeros enteros
clase#19 se realizaran ejercicios de aplicacion de la potenciacion y la radicacion
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7 (del 7 al 11 de marzo)
clase#20 y 21 se explico la solucion de ecuaciones con una incognita y se realizaron talleres
clase#23 realizacion de taller sobre las ecuaciones
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8 (del 14 al 18 de marzo)
clase#24 ,25 y 26 realizacion de problemas sobre ecuaciones enteras con una sola incognita
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9 (del 21 al 25 de marzo)
clase# 27,28,representacion numeros decimales en la recta numerica
clase#29 suma y resta de numeros decimales explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10( del 28 de marzo al 1 de abril)
clase#30y31 suma y resta de numeros decimales,explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de talleres
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: septimo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No.1(24 al 28 de enero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de fracción y análisis de preguntas sobre las fracciones
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 suma y resta de números fraccionarios. Se explicara este tema.
Luego se solucionara un taller sobre suma y resta de números fraccionarios en la clase #2, en la clase # 3 se soluciona un crucigrama y se realizan problemas de aplicación de la suma de números fraccionarios .
Y se dejara una actividad de tarea sobre problemas con números fraccionarios.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2 (31 de enero al 4 de febrero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre suma de fracciones y después se realizara una evaluación
Clase # 5 durante esta clase se explicara la multiplicación y la división de números fraccionarios y después se realizara un taller.
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller de problemas de aplicación sobre la multiplicación y la división de números fraccionarios .
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3 (del 7 al 11 de febrero)
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 durante esta clase se explicara la potenciacion y radicacion de fraccionarios para lo cual se contara con crucigrnas y otras actividades)
clase # 9 solucion de problemas haciendo el uso de la potenciacion y radicacion.
.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (del 14 al 18 de febrero)
ACTIVIDADES
clase#10 numeros enteros explicacion del concepto de numeros enteros, valor absoluto y orden en los enteros
Clase # 11 y 12 suma y resta de numeros enteros durante esta clase se explicara este tema se utilizaran videos sobre la suma y despues se realizara un taller el cual constara de crucigramas y sopa de letras
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5 (del 21 al 25 de febrero)
clase#13 solucion de problemas de aplicacion de la suma y la resta
clase#14 y 15 se explico multiplicacion y division de numeros enteros se utizaran videos,se realizaran talleres de enteros enteros.
clase #16 se explico la potenciacion y la radicacion de numeros enteros y se realizaron ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (del 28 al 4 de marzo)
clase # 17 y 18 se realizo taller sobre la potenciacion y la radicacion de numeros enteros
clase#19 se realizaran ejercicios de aplicacion de la potenciacion y la radicacion
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7 (del 7 al 11 de marzo)
clase#20 y 21 se explico la solucion de ecuaciones con una incognita y se realizaron talleres
clase#23 realizacion de taller sobre las ecuaciones
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8 (del 14 al 18 de marzo)
clase#24 ,25 y 26 realizacion de problemas sobre ecuaciones enteras con una sola incognita
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9 (del 21 al 25 de marzo)
clase# 27,28,representacion numeros decimales en la recta numerica
clase#29 suma y resta de numeros decimales explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10( del 28 de marzo al 1 de abril)
clase#30y31 suma y resta de numeros decimales,explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de talleres
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
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planeacion de matemaricas del grado sexto primer periodo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARINA ORTH
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: sexto
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
Conjuntos
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de conjunto y análisis de preguntas sobre los conjuntos
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 operaciones entre conjuntos. Se explicara este tema. Luego se solucionara un taller sobre operaciones entre conjuntos en la clase #1, en la clase # 2 se solucionara una sopa de letras y un crucigrama. Y se dejaran 3 actividades de tarea.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
Conjuntos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se explicara el producto cartesiano y luego se realizara un taller sobre este tema
Clase # 5 durante esta clase se solucionaran dos talleres uno de operaciones entre conjunto y otro de problemas de aplicación de las operaciones entre conjuntos
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller sobre conjuntos para la casa.
Luego se realizara una evaluación sobre el tema de conjuntos
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
Proposiciones y su valor de verdad
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 explicación de las proposiciones, calculo de su valor de verdad, calculo de tablas de verdad y
Clase # 9 solución de sopa de letras y de crucigrama sobre Proposiciones y su valor de verdad
Después se realizo una evaluación sobre las proposiciones.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4
Sistemas de numeración
ACTIVIDADES
Clase # 10 y 11 durante esta clase se trabajara sobre los antiguos sistemas de numeración y se realizaran talleres y los cuales tendrán sopas de letras y crucigramas
Clase #12 solución de taller y evaluación de los antiguos sistemas de numeración
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: sexto
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
Conjuntos
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de conjunto y análisis de preguntas sobre los conjuntos
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 operaciones entre conjuntos. Se explicara este tema. Luego se solucionara un taller sobre operaciones entre conjuntos en la clase #1, en la clase # 2 se solucionara una sopa de letras y un crucigrama. Y se dejaran 3 actividades de tarea.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
Conjuntos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se explicara el producto cartesiano y luego se realizara un taller sobre este tema
Clase # 5 durante esta clase se solucionaran dos talleres uno de operaciones entre conjunto y otro de problemas de aplicación de las operaciones entre conjuntos
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller sobre conjuntos para la casa.
Luego se realizara una evaluación sobre el tema de conjuntos
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
Proposiciones y su valor de verdad
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 explicación de las proposiciones, calculo de su valor de verdad, calculo de tablas de verdad y
Clase # 9 solución de sopa de letras y de crucigrama sobre Proposiciones y su valor de verdad
Después se realizo una evaluación sobre las proposiciones.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4
Sistemas de numeración
ACTIVIDADES
Clase # 10 y 11 durante esta clase se trabajara sobre los antiguos sistemas de numeración y se realizaran talleres y los cuales tendrán sopas de letras y crucigramas
Clase #12 solución de taller y evaluación de los antiguos sistemas de numeración
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
diario de campo
Semana comprendida entre el 11 hasta el 14 de 2011.
Semana institucional durante esta nos reunimos con el señor rector Wilson urrego y con la fundación para planear sobre los proyectos
Semana comprendida entre el 17 hasta el 21 de 2012.
Durante esta semana nos reunimos con el señor rector Wilson urrego y representantes de la fundación marina orth de 11 a 1:00 pm para hablar y planear sobre los proyectos, después los estudiantes se reunieron en la cancha por grupos estas reuniones se realizaron los días martes y miércoles. Después de estas reuniones se hizo recuperaciones. De los estudiantes que presentaban dificultades. y salimos a las 5:00 pm
Lunes 24 de 2012
Durante este día se trabajo matemáticas en los grados sexto, séptimo, octavo
En estos grupos se trabajo ,conjuntos en el grado sexto, fracciones en el grado séptimo, talleres de operaciones entre conjuntos numéricos en el grado octavo.
la clase de religion en el grado sexto no se dicto.
el en el grado noveno se trabajo fisica el tema fue unidades de conversion y se dejo un trabajo de investigacion.
en el grado noveno y sexto se trabajo el arte comtemporaneo donde los estudiantes resolvieron un taller el cual constaba de 10 preguntas.
en el grado septimo y octavo no se dicto clase porque los estudiantes salieron a las 5:20 pm
Semana institucional durante esta nos reunimos con el señor rector Wilson urrego y con la fundación para planear sobre los proyectos
Semana comprendida entre el 17 hasta el 21 de 2012.
Durante esta semana nos reunimos con el señor rector Wilson urrego y representantes de la fundación marina orth de 11 a 1:00 pm para hablar y planear sobre los proyectos, después los estudiantes se reunieron en la cancha por grupos estas reuniones se realizaron los días martes y miércoles. Después de estas reuniones se hizo recuperaciones. De los estudiantes que presentaban dificultades. y salimos a las 5:00 pm
Lunes 24 de 2012
Durante este día se trabajo matemáticas en los grados sexto, séptimo, octavo
En estos grupos se trabajo ,conjuntos en el grado sexto, fracciones en el grado séptimo, talleres de operaciones entre conjuntos numéricos en el grado octavo.
la clase de religion en el grado sexto no se dicto.
el en el grado noveno se trabajo fisica el tema fue unidades de conversion y se dejo un trabajo de investigacion.
en el grado noveno y sexto se trabajo el arte comtemporaneo donde los estudiantes resolvieron un taller el cual constaba de 10 preguntas.
en el grado septimo y octavo no se dicto clase porque los estudiantes salieron a las 5:20 pm
jueves, 27 de enero de 2011
RECUPERACION GRADO SEPTIMO
Actividad # 1
Problemas con números enteros
Antonio tiene en su cuenta corriente un saldo de 54.000 euros; entregó
tres cheques por valor de 34.000, 13.000 y 9.000 euros, y después
ingresó 21.000 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en el aeropuerto a las siete da la mañana es de
5º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 3º, de 9 a 1 aumentó en
6º, de la 1 a las 3 no varío, de 3 a 6 subió 2º, de 6 a 9 descendió 4º y de
9 a 12 descendió 8º.
¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche?
· La temperatura de una ciudad a las 10 de la mañana es de 2º bajo cero,
y a las 2 de la tarde es de 10º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de una ciudad, a las 3 de la tarde, fue de 24º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 12 de la noche fue de 11º.
¿Cuál fue la temperatura a las 12 de la noche?
· Una persona gasta en juegos de azar 200 euros la primera semana, 450
euros la segundo y 125 euros la tercera, ganando en premios 175 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 750 euros. Si ahora
llevo 45 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Candela gasta en la peluquería 20 euros, en lotería 3 euros y cobra un
premio de 10 euros. Si al terminar el día tiene 30 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un avión sube a una altura de 2.000 metros, después baja a 1.300
metros, vuelve a subir 1.500 metros y baja de nuevo 250 metros.
¿A qué altura se encuentra en este momento?
· Lucas tiene en su cuenta corriente un saldo de 27.000 euros; entregó
tres cheques por valor de 15.000, 10.000 y 7.500 euros, y después
ingresó 13.850 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la estación de trenes a las ocho de la mañana
es de 9º sobre cero; de 8 a 10, la temperatura aumentó 1º, de 10 a 12
aumentó en 4º, de las 12 a las 5 no varío, de 5 a 6 subió 3º, de 6 a 8
descendió 5º y de 8 a 11 descendió 10º.
¿Cuál es la temperatura a las 11 de la noche?
· La temperatura de una ciudad a las 7 de la mañana es de 4º bajo cero, y
a las 3 de la tarde es de 7º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de un pueblo, a las 5 de la tarde, fue de 30º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 10 de la noche fue de 8º.
¿Cuál fue la temperatura a las 10 de la noche?
· Una persona gasta en el bingo 175 euros la primera semana, 320 euros la
segundo y 457 euros la tercera, ganando en premios 250 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 135 euros. Si ahora llevo
5 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Pepa gasta en la peluquería 10 euros, en lotería 20 euros y cobra un
premio de 50 euros. Si al terminar el día tiene 25 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros,
vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este m
Mario tiene en su cuenta corriente un saldo de 15.350 euros; entregó
tres cheques por valor de 1.200, 25.500 y 5.300 euros, y después
ingresó 8.365 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la estación de autobuses a las seis de la
mañana es de 3º sobre cero; de 6 a 8, la temperatura aumentó 2º, de 8 a
11 aumentó en 1º, de las 11 a las 2 no varío, de 2 a 4 subió 2º, de 4 a 6
descendió 1º y de 6 a 9 descendió 6º.
¿Cuál es la temperatura a las 9 de la noche?
· La temperatura de un pueblo a las 9 de la mañana es de 1º bajo cero, y a
las 5 de la tarde es de 6º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de una ciudad, a las 3 de la tarde, fue de 40º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 8 de la tarde fue de 5º.
¿Cuál fue la temperatura a las 8 de la tarde?
· Una persona gasta en la lotería 120 euros la primera semana, 510 euros
la segundo y 50 euros la tercera, ganando en premios 325 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 65 euros. Si ahora llevo
12 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Carmela gasta en la peluquería 15 euros, en lotería 12 euros y cobra un
premio de 30 euros. Si al terminar el día tiene 32 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un helicóptero sube a una altura de 5.000 metros, después baja a 1.500
metros, vuelve a subir 3.200 metros y baja de nuevo 700 metros.
¿A qué altura se encuentra en este
Ezequiel tiene en su cuenta corriente un saldo de 84.500 euros; entregó
tres cheques por valor de 3.600, 59.200 y 25.000 euros, y después
ingresó 4.596 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la sierra de Grazalema a las siete de la
mañana es de 1º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 1º, de 9 a
11 aumentó en 2º, de las 11 a la 1 no varío, de 1 a 3 subió 3º, de 3 a 4
descendió 2º y de 4 a 7 descendió 3º.
¿Cuál es la temperatura a las 7 de la noche?
· Un submarino baja a 125 metros de profundidad y después 115 metros
más, para más tarde subir 75 metros .
¿A cuántos metros se encuentra ahora?
· En una piscina hay 2.000 litros de agua. Por un grifo entra 5 litros por
minuto y por el desagüe se salen 7 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de un cuarto de hora?
· La temperatura media de un día en París es de 4º bajo cero.
Calcula la de Moscú si es el triple de baja.
· Rubén debía 3.500 euros y ahora tiene 4.500 euros.
¿Cuánto dinero pagó?
· En el metro viajan 200 personas. En la primera parada bajan 18 y suben
46. En la segunda, bajan 64 y suben 82. En la tercera bajan 35 y suben
18.
¿Cuántos viajeros llegarán a la cuarta parada?
· ¿Cuándo cumplirá 35 años una persona que en 1984 tenía 17 años?
· Ana y Pablo compran un libro y bolígrafo, por 35 euros. Si el bolígrafo
cuenta 17 euros.
¿Qué diferencia hay entre el coste del libro y del bolígrafo?
Actividad#2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
ll)
3) Efectúa:
4) Opera:
5) Resuelve:
6) Opera:
7) Efectúa
Actividad # 3
Problemas con fracciones
1) Un futbolista ha metido los 25 Del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta Parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metieron el equipo en toda la temporada?
2) Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 75
De hora, 2012 hora y 169 horas, respectivamente. ¿Cuál de ellos es más veloz?
3) Un ganadero vende los 34 del número de reses que tiene. Más tarde los
34 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?
4) Un niño regala a su hermana 16
De sus tebeos, vende 13 del total a sus amigos y pierde la quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?
5) Un profesor ha corregido 25 de los exámenes con rotulador rojo y
14 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?
6) Una tienda ofrece pantalones rebajados en
17 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
7) Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta
25 del dinero en un libro y después 45 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
8) Un vendedor despacha por la mañana las 34
Partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
9) En una biblioteca los 29de los libros que hay son de matemáticas,
35 son de literatura, 17 Son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el
Número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
10 ) Los 56 De lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los 23 De los gastos de esa misma familia?
11) Un atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer
Los 1.500 m (3 vueltas y 34de vuelta)?
12) Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 18
De los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente,
37 suficiente, 38 notable y 110 sobresaliente. Comprueba si
Estos resultados son posibles.
13 ) Un aventurero realiza 25 de un viaje en todo terreno, 13 A caballo y el resto andando. Si la
Caminata ha sido de 80 km, ¿cuál es la longitud total de su recorrido?
14 ) Mi cuaderno tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado
25 y he arrancado 18 ¿Cuántas
Páginas quedan disponibles? ¿Cuál es su fracción?
15) Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la
Asistencia de científicos de algunos países ribereños: 16 españoles, 15 marroquíes,
18argelinos, 18 tunecinos y el resto italianos, que son 20. ¿Cuántos científicos asisten a la Reunión?
19) Un paseante camina con pasos regulares de56
De metro. Si da 2 pasos regulares cada 3
Segundos, ¿qué distancia recorrerá en media hora?
20) El paso de rosca de un tornillo es de34
De milímetro. ¿Cuántas vueltas hemos de darle con
Una llave para que penetre 1'8 cm?
21) Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que 36
Son chicos y 47
Son chicas?
22) Se cuentan 5.700 botellas cuando se lleva 23
De la carga. ¿Cuántas son la carga completa?
23) 2.700 bombillas son los 34
Del total. ¿Cuántas bombillas son 710?
24) Expresa en forma de fracción de hora 40 minutos. Exprésalos también como fracción de día.
36)
Problemas con números enteros
Antonio tiene en su cuenta corriente un saldo de 54.000 euros; entregó
tres cheques por valor de 34.000, 13.000 y 9.000 euros, y después
ingresó 21.000 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en el aeropuerto a las siete da la mañana es de
5º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 3º, de 9 a 1 aumentó en
6º, de la 1 a las 3 no varío, de 3 a 6 subió 2º, de 6 a 9 descendió 4º y de
9 a 12 descendió 8º.
¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche?
· La temperatura de una ciudad a las 10 de la mañana es de 2º bajo cero,
y a las 2 de la tarde es de 10º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de una ciudad, a las 3 de la tarde, fue de 24º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 12 de la noche fue de 11º.
¿Cuál fue la temperatura a las 12 de la noche?
· Una persona gasta en juegos de azar 200 euros la primera semana, 450
euros la segundo y 125 euros la tercera, ganando en premios 175 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 750 euros. Si ahora
llevo 45 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Candela gasta en la peluquería 20 euros, en lotería 3 euros y cobra un
premio de 10 euros. Si al terminar el día tiene 30 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un avión sube a una altura de 2.000 metros, después baja a 1.300
metros, vuelve a subir 1.500 metros y baja de nuevo 250 metros.
¿A qué altura se encuentra en este momento?
· Lucas tiene en su cuenta corriente un saldo de 27.000 euros; entregó
tres cheques por valor de 15.000, 10.000 y 7.500 euros, y después
ingresó 13.850 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la estación de trenes a las ocho de la mañana
es de 9º sobre cero; de 8 a 10, la temperatura aumentó 1º, de 10 a 12
aumentó en 4º, de las 12 a las 5 no varío, de 5 a 6 subió 3º, de 6 a 8
descendió 5º y de 8 a 11 descendió 10º.
¿Cuál es la temperatura a las 11 de la noche?
· La temperatura de una ciudad a las 7 de la mañana es de 4º bajo cero, y
a las 3 de la tarde es de 7º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de un pueblo, a las 5 de la tarde, fue de 30º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 10 de la noche fue de 8º.
¿Cuál fue la temperatura a las 10 de la noche?
· Una persona gasta en el bingo 175 euros la primera semana, 320 euros la
segundo y 457 euros la tercera, ganando en premios 250 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 135 euros. Si ahora llevo
5 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Pepa gasta en la peluquería 10 euros, en lotería 20 euros y cobra un
premio de 50 euros. Si al terminar el día tiene 25 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros,
vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este m
Mario tiene en su cuenta corriente un saldo de 15.350 euros; entregó
tres cheques por valor de 1.200, 25.500 y 5.300 euros, y después
ingresó 8.365 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la estación de autobuses a las seis de la
mañana es de 3º sobre cero; de 6 a 8, la temperatura aumentó 2º, de 8 a
11 aumentó en 1º, de las 11 a las 2 no varío, de 2 a 4 subió 2º, de 4 a 6
descendió 1º y de 6 a 9 descendió 6º.
¿Cuál es la temperatura a las 9 de la noche?
· La temperatura de un pueblo a las 9 de la mañana es de 1º bajo cero, y a
las 5 de la tarde es de 6º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
· La temperatura de una ciudad, a las 3 de la tarde, fue de 40º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 8 de la tarde fue de 5º.
¿Cuál fue la temperatura a las 8 de la tarde?
· Una persona gasta en la lotería 120 euros la primera semana, 510 euros
la segundo y 50 euros la tercera, ganando en premios 325 euros.
¿Cuál fue el balance final?
· El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 65 euros. Si ahora llevo
12 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
· Carmela gasta en la peluquería 15 euros, en lotería 12 euros y cobra un
premio de 30 euros. Si al terminar el día tiene 32 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
· Un helicóptero sube a una altura de 5.000 metros, después baja a 1.500
metros, vuelve a subir 3.200 metros y baja de nuevo 700 metros.
¿A qué altura se encuentra en este
Ezequiel tiene en su cuenta corriente un saldo de 84.500 euros; entregó
tres cheques por valor de 3.600, 59.200 y 25.000 euros, y después
ingresó 4.596 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
· La temperatura medida en la sierra de Grazalema a las siete de la
mañana es de 1º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 1º, de 9 a
11 aumentó en 2º, de las 11 a la 1 no varío, de 1 a 3 subió 3º, de 3 a 4
descendió 2º y de 4 a 7 descendió 3º.
¿Cuál es la temperatura a las 7 de la noche?
· Un submarino baja a 125 metros de profundidad y después 115 metros
más, para más tarde subir 75 metros .
¿A cuántos metros se encuentra ahora?
· En una piscina hay 2.000 litros de agua. Por un grifo entra 5 litros por
minuto y por el desagüe se salen 7 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de un cuarto de hora?
· La temperatura media de un día en París es de 4º bajo cero.
Calcula la de Moscú si es el triple de baja.
· Rubén debía 3.500 euros y ahora tiene 4.500 euros.
¿Cuánto dinero pagó?
· En el metro viajan 200 personas. En la primera parada bajan 18 y suben
46. En la segunda, bajan 64 y suben 82. En la tercera bajan 35 y suben
18.
¿Cuántos viajeros llegarán a la cuarta parada?
· ¿Cuándo cumplirá 35 años una persona que en 1984 tenía 17 años?
· Ana y Pablo compran un libro y bolígrafo, por 35 euros. Si el bolígrafo
cuenta 17 euros.
¿Qué diferencia hay entre el coste del libro y del bolígrafo?
Actividad#2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
ll)
3) Efectúa:
4) Opera:
5) Resuelve:
6) Opera:
7) Efectúa
Actividad # 3
Problemas con fracciones
1) Un futbolista ha metido los 25 Del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta Parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metieron el equipo en toda la temporada?
2) Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 75
De hora, 2012 hora y 169 horas, respectivamente. ¿Cuál de ellos es más veloz?
3) Un ganadero vende los 34 del número de reses que tiene. Más tarde los
34 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?
4) Un niño regala a su hermana 16
De sus tebeos, vende 13 del total a sus amigos y pierde la quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?
5) Un profesor ha corregido 25 de los exámenes con rotulador rojo y
14 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?
6) Una tienda ofrece pantalones rebajados en
17 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
7) Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta
25 del dinero en un libro y después 45 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
8) Un vendedor despacha por la mañana las 34
Partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
9) En una biblioteca los 29de los libros que hay son de matemáticas,
35 son de literatura, 17 Son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el
Número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
10 ) Los 56 De lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los 23 De los gastos de esa misma familia?
11) Un atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer
Los 1.500 m (3 vueltas y 34de vuelta)?
12) Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 18
De los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente,
37 suficiente, 38 notable y 110 sobresaliente. Comprueba si
Estos resultados son posibles.
13 ) Un aventurero realiza 25 de un viaje en todo terreno, 13 A caballo y el resto andando. Si la
Caminata ha sido de 80 km, ¿cuál es la longitud total de su recorrido?
14 ) Mi cuaderno tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado
25 y he arrancado 18 ¿Cuántas
Páginas quedan disponibles? ¿Cuál es su fracción?
15) Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la
Asistencia de científicos de algunos países ribereños: 16 españoles, 15 marroquíes,
18argelinos, 18 tunecinos y el resto italianos, que son 20. ¿Cuántos científicos asisten a la Reunión?
19) Un paseante camina con pasos regulares de56
De metro. Si da 2 pasos regulares cada 3
Segundos, ¿qué distancia recorrerá en media hora?
20) El paso de rosca de un tornillo es de34
De milímetro. ¿Cuántas vueltas hemos de darle con
Una llave para que penetre 1'8 cm?
21) Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que 36
Son chicos y 47
Son chicas?
22) Se cuentan 5.700 botellas cuando se lleva 23
De la carga. ¿Cuántas son la carga completa?
23) 2.700 bombillas son los 34
Del total. ¿Cuántas bombillas son 710?
24) Expresa en forma de fracción de hora 40 minutos. Exprésalos también como fracción de día.
36)
RECUPERACION GRADO SEXTO
Actividad #1
Problemas con fracciones
1) Un futbolista ha metido los 25 Del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta Parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metieron el equipo en toda la temporada?
2) Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 75
De hora, 2012 hora y 169 horas, respectivamente. ¿Cuál de ellos es más veloz?
3) Un ganadero vende los 34 del número de reses que tiene. Más tarde los
34 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?
4) Un niño regala a su hermana 16
De sus tebeos, vende 13 del total a sus amigos y pierde la quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?
5) Un profesor ha corregido 25 de los exámenes con rotulador rojo y
14 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?
6) Una tienda ofrece pantalones rebajados en
17 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
7) Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta
25 del dinero en un libro y después 45 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
8) Un vendedor despacha por la mañana las 34
Partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
9) En una biblioteca los 29de los libros que hay son de matemáticas,
35 son de literatura, 17 Son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el
Número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
10 ) Los 56 De lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los 23 De los gastos de esa misma familia?
11) Un atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer
Los 1.500 m (3 vueltas y 34de vuelta)?
12) Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 18
De los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente,
37 suficiente, 38 notable y 110 sobresaliente. Comprueba si
Estos resultados son posibles.
13 ) Un aventurero realiza 25 de un viaje en todo terreno, 13 A caballo y el resto andando. Si la
Caminata ha sido de 80 km, ¿cuál es la longitud total de su recorrido?
14 ) Mi cuaderno tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado
25 y he arrancado 18 ¿Cuántas
Páginas quedan disponibles? ¿Cuál es su fracción?
15) Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la
Asistencia de científicos de algunos países ribereños: 16 españoles, 15 marroquíes,
18argelinos, 18 tunecinos y el resto italianos, que son 20. ¿Cuántos científicos asisten a la Reunión?
19) Un paseante camina con pasos regulares de56
De metro. Si da 2 pasos regulares cada 3
Segundos, ¿qué distancia recorrerá en media hora?
20) El paso de rosca de un tornillo es de34
De milímetro. ¿Cuántas vueltas hemos de darle con
Una llave para que penetre 1'8 cm?
21) Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que 36
Son chicos y 47
Son chicas?
22) Se cuentan 5.700 botellas cuando se lleva 23
De la carga. ¿Cuántas son la carga completa?
23) 2.700 bombillas son los 34
Del total. ¿Cuántas bombillas son 710?
24) Expresa en forma de fracción de hora 40 minutos. Exprésalos también como fracción de día.
36)
Actividad#2
Problemas de divisibilidad
Actividad
1) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
2) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
3) Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
4) ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
Actividad#3
Problemas de números naturales
1) Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.
2) El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?
3) El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?
4) Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
5) Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
6) Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?
7) ¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.
8) Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro.
9) En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?
10) En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?
11) En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?
Actividad # 4
Problemas de números enteros
1). Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
2). Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
3). ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
4). Ezequiel tiene en su cuenta corriente un saldo de 84.500 euros; entregó
tres cheques por valor de 3.600, 59.200 y 25.000 euros, y después
ingresó 4.596 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
5) La temperatura medida en la sierra de Grazalema a las siete de la
mañana es de 1º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 1º, de 9 a
11 aumentó en 2º, de las 11 a la 1 no varío, de 1 a 3 subió 3º, de 3 a 4
descendió 2º y de 4 a 7 descendió 3º.
¿Cuál es la temperatura a las 7 de la noche?
6) Un submarino baja a 125 metros de profundidad y después 115 metros
más, para más tarde subir 75 metros .
¿A cuántos metros se encuentra ahora?
7) Rubén debía 3.500 euros y ahora tiene 4.500 euros.
¿Cuánto dinero pagó?
8) En el metro viajan 200 personas. En la primera parada bajan 18 y suben
46. En la segunda, bajan 64 y suben 82. En la tercera bajan 35 y suben
18.
¿Cuántos viajeros llegarán a la cuarta parada?
¿Cuándo cumplirá 35 años una persona que en 1984 tenía 17 años?
9) Ana y Pablo compran un libro y bolígrafo, por 35 euros. Si el bolígrafo
cuenta 17 euros.
¿Qué diferencia hay entre el coste del libro y del bolígrafo?
10) Pepa gasta en la peluquería 10 euros, en lotería 20 euros y cobra un
premio de 50 euros. Si al terminar el día tiene 25 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
11) Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros,
vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este
Actividad#5
1) La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
2) En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
3) En una piscina hay 2.000 litros de agua. Por un grifo entra 5 litros por
Minuto y por el desagüe se salen 7 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de un cuarto de hora?
4) · La temperatura media de un día en París es de 4º bajo cero.
Calcula la de Moscú si es el triple de baja.
5) Mario tiene en su cuenta corriente un saldo de 15.350 euros; entregó
Tres cheques por valor de 1.200, 25.500 y 5.300 euros, y después
Ingresó 8.365 euros. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
6) La temperatura medida en la estación de trenes a las ocho de la mañana
Es de 9º sobre cero; de 8 a 10, la temperatura aumentó 1º, de 10 a 12
Aumentó en 4º, de las 12 a las 5 no varío, de 5 a 6 subió 3º, de 6 a 8
Descendió 5º y de 8 a 11 descendió 10º.
¿Cuál es la temperatura a las 11 de la noche?
7) La temperatura de una ciudad a las 7 de la mañana es de 4º bajo cero, y
a las 3 de la tarde es de 7º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
8) La temperatura de un pueblo, a las 5 de la tarde, fue de 30º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 10 de la noche fue de 8º.
¿Cuál fue la temperatura a las 10 de la noche?
9) Una persona gasta en el bingo 175 euros la primera semana, 320 euros la
segundo y 457 euros la tercera, ganando en premios 250 euros.
¿Cuál fue el balance final?
10) El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 135 euros. Si ahora llevo
5 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
Problemas resueltos de divisibilidad
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
12 = 22 · 3
18 = 2· 32
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h.
Problemas resueltos de divisibilidad
2
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
18 = 2 · 32
24 = 23 · 3
m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72
Dentro de 72 días.
Problemas resueltos de divisibilidad
3
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?
m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720
720 + 9 = 729
Problemas resueltos de divisibilidad
4
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
Problemas resueltos de divisibilidad
5
El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 30 · 50 = 1500 dm2
m. c. d. (30, 50) = 2· 5= 10 dm de lado
Ab = 102 = 100 dm2
1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
Problemas resueltos de divisibilidad
6
Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
Problemas resueltos de divisibilidad
7
¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
8 m = 80 dm 80 = 24 · 5
6.4 m = 64 dm 64 = 26
m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado
A b = 162 = 256 dm2
A = 80 · 64 = 5120 dm2
5120 dm2 : 256 dm2 = 20 baldosas
TOMADO DE VITUTOR.COM
Problemas con fracciones
1) Un futbolista ha metido los 25 Del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta Parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metieron el equipo en toda la temporada?
2) Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 75
De hora, 2012 hora y 169 horas, respectivamente. ¿Cuál de ellos es más veloz?
3) Un ganadero vende los 34 del número de reses que tiene. Más tarde los
34 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?
4) Un niño regala a su hermana 16
De sus tebeos, vende 13 del total a sus amigos y pierde la quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?
5) Un profesor ha corregido 25 de los exámenes con rotulador rojo y
14 con bolígrafo azul. Si todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?
6) Una tienda ofrece pantalones rebajados en
17 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
7) Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta
25 del dinero en un libro y después 45 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
8) Un vendedor despacha por la mañana las 34
Partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía?
9) En una biblioteca los 29de los libros que hay son de matemáticas,
35 son de literatura, 17 Son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el
Número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
10 ) Los 56 De lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los 23 De los gastos de esa misma familia?
11) Un atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer
Los 1.500 m (3 vueltas y 34de vuelta)?
12) Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 18
De los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente,
37 suficiente, 38 notable y 110 sobresaliente. Comprueba si
Estos resultados son posibles.
13 ) Un aventurero realiza 25 de un viaje en todo terreno, 13 A caballo y el resto andando. Si la
Caminata ha sido de 80 km, ¿cuál es la longitud total de su recorrido?
14 ) Mi cuaderno tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado
25 y he arrancado 18 ¿Cuántas
Páginas quedan disponibles? ¿Cuál es su fracción?
15) Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la
Asistencia de científicos de algunos países ribereños: 16 españoles, 15 marroquíes,
18argelinos, 18 tunecinos y el resto italianos, que son 20. ¿Cuántos científicos asisten a la Reunión?
19) Un paseante camina con pasos regulares de56
De metro. Si da 2 pasos regulares cada 3
Segundos, ¿qué distancia recorrerá en media hora?
20) El paso de rosca de un tornillo es de34
De milímetro. ¿Cuántas vueltas hemos de darle con
Una llave para que penetre 1'8 cm?
21) Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que 36
Son chicos y 47
Son chicas?
22) Se cuentan 5.700 botellas cuando se lleva 23
De la carga. ¿Cuántas son la carga completa?
23) 2.700 bombillas son los 34
Del total. ¿Cuántas bombillas son 710?
24) Expresa en forma de fracción de hora 40 minutos. Exprésalos también como fracción de día.
36)
Actividad#2
Problemas de divisibilidad
Actividad
1) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
2) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
3) Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
4) ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
Actividad#3
Problemas de números naturales
1) Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.
2) El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?
3) El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?
4) Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
5) Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?
6) Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?
7) ¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.
8) Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro.
9) En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?
10) En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?
11) En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?
Actividad # 4
Problemas de números enteros
1). Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
2). Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
3). ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
4). Ezequiel tiene en su cuenta corriente un saldo de 84.500 euros; entregó
tres cheques por valor de 3.600, 59.200 y 25.000 euros, y después
ingresó 4.596 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
5) La temperatura medida en la sierra de Grazalema a las siete de la
mañana es de 1º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 1º, de 9 a
11 aumentó en 2º, de las 11 a la 1 no varío, de 1 a 3 subió 3º, de 3 a 4
descendió 2º y de 4 a 7 descendió 3º.
¿Cuál es la temperatura a las 7 de la noche?
6) Un submarino baja a 125 metros de profundidad y después 115 metros
más, para más tarde subir 75 metros .
¿A cuántos metros se encuentra ahora?
7) Rubén debía 3.500 euros y ahora tiene 4.500 euros.
¿Cuánto dinero pagó?
8) En el metro viajan 200 personas. En la primera parada bajan 18 y suben
46. En la segunda, bajan 64 y suben 82. En la tercera bajan 35 y suben
18.
¿Cuántos viajeros llegarán a la cuarta parada?
¿Cuándo cumplirá 35 años una persona que en 1984 tenía 17 años?
9) Ana y Pablo compran un libro y bolígrafo, por 35 euros. Si el bolígrafo
cuenta 17 euros.
¿Qué diferencia hay entre el coste del libro y del bolígrafo?
10) Pepa gasta en la peluquería 10 euros, en lotería 20 euros y cobra un
premio de 50 euros. Si al terminar el día tiene 25 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
11) Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros,
vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este
Actividad#5
1) La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
2) En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
3) En una piscina hay 2.000 litros de agua. Por un grifo entra 5 litros por
Minuto y por el desagüe se salen 7 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de un cuarto de hora?
4) · La temperatura media de un día en París es de 4º bajo cero.
Calcula la de Moscú si es el triple de baja.
5) Mario tiene en su cuenta corriente un saldo de 15.350 euros; entregó
Tres cheques por valor de 1.200, 25.500 y 5.300 euros, y después
Ingresó 8.365 euros. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
6) La temperatura medida en la estación de trenes a las ocho de la mañana
Es de 9º sobre cero; de 8 a 10, la temperatura aumentó 1º, de 10 a 12
Aumentó en 4º, de las 12 a las 5 no varío, de 5 a 6 subió 3º, de 6 a 8
Descendió 5º y de 8 a 11 descendió 10º.
¿Cuál es la temperatura a las 11 de la noche?
7) La temperatura de una ciudad a las 7 de la mañana es de 4º bajo cero, y
a las 3 de la tarde es de 7º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
8) La temperatura de un pueblo, a las 5 de la tarde, fue de 30º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 10 de la noche fue de 8º.
¿Cuál fue la temperatura a las 10 de la noche?
9) Una persona gasta en el bingo 175 euros la primera semana, 320 euros la
segundo y 457 euros la tercera, ganando en premios 250 euros.
¿Cuál fue el balance final?
10) El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 135 euros. Si ahora llevo
5 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
Problemas resueltos de divisibilidad
Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
12 = 22 · 3
18 = 2· 32
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h.
Problemas resueltos de divisibilidad
2
Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
18 = 2 · 32
24 = 23 · 3
m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72
Dentro de 72 días.
Problemas resueltos de divisibilidad
3
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?
m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720
720 + 9 = 729
Problemas resueltos de divisibilidad
4
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
Problemas resueltos de divisibilidad
5
El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 30 · 50 = 1500 dm2
m. c. d. (30, 50) = 2· 5= 10 dm de lado
Ab = 102 = 100 dm2
1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
Problemas resueltos de divisibilidad
6
Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
Problemas resueltos de divisibilidad
7
¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
8 m = 80 dm 80 = 24 · 5
6.4 m = 64 dm 64 = 26
m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado
A b = 162 = 256 dm2
A = 80 · 64 = 5120 dm2
5120 dm2 : 256 dm2 = 20 baldosas
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