Actividad #7
Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
Nivel 1
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.-representa las sigurntes operaciones en un diagrama de Venn ,
(1) ;
(2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′
cuando sea necesario:
a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}
b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}
d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {n | n es natural y n es divisible por 5}
b) { | n es primo}
c) {2n | n es natural}
d) {r | r es racional y 0 < r < 1}
3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a) {n | n ∈ N y n2 = 9}
b) {x | x ∈ R y x2 = 9}
c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}
e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}
f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.
4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.
b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d) { a, e, i, o, u }
5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A ∪ B
b) A − B
c) Ac
d) Uc
e) B ∩U
f ) Bc ∩ (C − A)
g) (A ∩ B)c ∪ C
h) B ∩C
i) A ∪ C
j) A ∩ (B ∪ C)
k) (A ∩ B) ∪ C
l) A ∩ B) − C
m) (A ∪ B) − (C − B)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a) A ∪ B
b) A ∩C
c) (A ∪ B) ∩ Cc
d) A − B
e) C − D
f ) (B − D) ∪ (D − B)
1. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.
¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
2. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?
3. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?
7. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemáticas y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
8. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
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