sábado, 12 de febrero de 2011
miércoles, 2 de febrero de 2011
clase #1 y 2 de artistica, grado sexto
tipos de dibujo
INTRODUCCIÓN
Desde sus orígenes, el hombreha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujoartístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivosdel dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.
Ramas del dibujo.
Según su objetivose divide en dos formas:
Dibujo artístico que se realiza libremente y con finalidad estética.
Dibujo técnico que se realiza con otros medios auxiliares, siguiendo normas y fines prácticos.
Concepto de dibujo técnico.
El dibujo técnicoes la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir.
Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. Cuando no utilizamos estos instrumentos se llama dibujo a mano alzada o croquis.
Tipos de dibujo técnico.
Con el desarrolloindustrial y los avances tecnológicos el dibujo ha aumentado su campo de acción. Los principales son:
Dibujo arquitectónico: El dibujo arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficascon las cuales realizamos los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre otros. Se dibuja el proyectocon instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros.
Dibujo mecánico:El dibujo mecánico se emplea en la representación de piezas o partes de máquinas, maquinarias, vehículos como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas, son llamados planos de conjunto; y los que representa un sólo elemento, plano de pieza. Los que representan un conjunto de piezas con las indicaciones gráficas para su colocación, y armar un todo, son llamados planos de montaje.
Dibujo eléctrico:Este tipo de dibujo se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una industria, oficinao vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de electricidad. Mediante la simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos, interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas entre otros.
Dibujo electrónico:Se representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, radios y otros.
Dibujo geológico: El dibujo geológico se emplea en geografía y en geología, en él se representan las diversas capas de la tierraempleando una simbología y da a conocer los mineralescontenidos en cada capa. Se usa mucho en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos.
Dibujo topográfico:El dibujo topográfico nos representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno, mediante signos convencionalmente establecidos. Nos muestra los accidentes naturales y artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales o curvas de nivel.
Dibujo urbanístico: Este tipo de dibujo se emplea en la organizaciónde ciudades: en la ubicación de centros urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas entre otros. Se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de pormenor.
Importancia del dibujo técnico como elemento de comunicación.
Con la comunicación se puede transmitir elementos que percibimos por los sentidos. Estos elementos son los signos.
En el lenguajelos signos son las palabras, y es considerado la comunicación por excelencia.
El dibujo técnico es un lenguaje, una comunicación. Es un lenguaje universal con el cual nos podemos comunicar con otras personas, sin importar el idioma. Emplea signos gráficos, regido por normas internacionales que lo hacen más entendible.
Para que un dibujo técnico represente un elemento de comunicación completo y eficiente, debe ser claro, preciso y constar de todos sus datos; todo esto depende de la experiencia del dibujante en la expresión gráfica que realice, bien sea un croquis, una perspectiva o un plano.
CARACTERÍSTICAS DEL DIBUJO TÉCNICO.
El dibujo técnico posee 3 características que deben ser respetadas a la hora de realizar un trabajo:
Grafico
Universal
Preciso
Es fundamental que todas las personas, diseñadores o técnicos, sigan unas normas claras en la representación de las piezas. A nivel internacional, las normas ISOson las encargadas de marcar las directrices precisas.
En dibujo técnico, las normas de aplicación se refieren a los sistemasde representación, presentaciones (líneas, formatos, rotulación, etc.), representación de los elementos de las piezas (cortes, secciones, vistas, etc.), etc.
INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN EL DIBUJO TÉCNICO
La realización de un dibujo técnico exige cálculo, medición, líneas bien trazadas, precisión en fin, una serie de condiciones que hacen necesario el uso de buenos instrumentos, buenos materiales, y sumado a esto, el conocimiento teórico que unido a la práctica hacen sobresalir a un dibujante.
Tablero de dibujo.
Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T.
El tamaño depende del formato que se vaya a utilizar. Para el formato escolar es suficiente un tamaño de 40 centímetros de altura por 60 centímetros de anchura.
En los talleres de dibujo técnico, en lugar de tableros, se emplean mesas construidas solamente para esta actividad, con las dimensiones e inclinación necesaria.
La regla T.
La regla T recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico.
Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a su fijación.
La regla graduada.
Es un instrumento para medir y trazar líneas rectas, su forma es rectangular, plana y tiene en sus bordes grabaciones de decímetros, centímetros y milímetros.
Por lo general son de madera o plástico. Aunque son preferibles las de plástico transparente para ver las líneas que se van trazando.
Sus longitudes varían de acuerdo al uso y oscilan de 10 a 60 centímetros Las más usuales son las de 30 centímetros.
Las escuadras.
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.
Las escuadras que se usan en dibujo técnico son dos:
- La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º.
- La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º.
El transportador.
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º.
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
El compás.
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas.
Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja con los dedos índice y pulgar.
Uno de los brazos tiene una aguja de acerograduable mediante un tornillo de presióny una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la colocación de portaminas u otros accesorios.
Clases de compás.
- Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios como el portamina o lápiz.
- Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar medidas.
- Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio.
- Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él.
Lápices.
Los lápices son elementos esenciales para la escrituray el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Para dibujar son mejores los hexagonales porque facilitan la sujeción entre los dedos y evitan que se ruede al dejarlos sobre la mesa de dibujo.
Grados de dureza de la mina.
La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan líneas finas de colorgris y las más blandas líneas gruesas y de color negro.
Están clasificados por letras y números. La H viene de la palabra hard que significa duro, la F significa firme y la B de black que significa negro.
Los más duros son: 4H, 3H, 2H y H. Los intermedios son: HB y F. Los más blandos son: B, 2B, 3B y 4B.
Portaminas o lapiceros.
Los portaminas son de metal o plástico y aloja en su interior la mina o minas que se deslizan mediante un resorte hacia afuera, que han de servir para escribir o trazar. Las minas son de distinta dureza. Aventaja a los lápices por el afilado de la mina y su resguardo.
Goma de borrar.
Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes. Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel.
Antes de borrar debe asegurarse de que está limpia y si hemos de borrar partes pequeñas, trazos sobrantes o líneas cercanas, debemos usar la plantilla auxiliar del borrado de acero laminado.
Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borrona.
El papel.
El papel es una lámina fina hecha de unas pastas de materiales distintos como trapos, madera, cáñamo, algodón y celulosa de vegetales. Es utilizado en todo el mundo para escribir, imprimir, pintar, dibujar y otros.
Existen de diferentes tipos, tonos y texturas. Pero en el dibujo técnico se utilizan dos clases: el papel opaco y el papel traslúcido.
El papel opaco no es transparente, tiene varios tonos, desde el blanco al blanco amarillento. La cara donde se dibuja es lisa y brillante.
El papel traslúcido es transparente. Es utilizado para dibujos o copias de planos a lápiz o tinta.
El tirro.
El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el papel ni en el tablero.
Cortamos cuatro pedacitos de cinta adhesiva, de longitud 2,5 aproximadamente, y los colocamos en el borde derecho de la mesa de dibujo, presionamos con los dedos de la mano izquierda, regla T y formato, pegamos en las esquinas superiores las cintas, de manera que queden perpendiculares a las esquinas, sin que la cinta llegue al margen de la lámina.
Dibujo Artístico: El "Dibujo Artistico" se define como el tipo de dibujo que sirve para expresar ideas filosóficas o estéticas así como sentimientos y emociones. El artista cuando dibuja cosas, las dibuja tal como las ve emocionalmente de acuerdo con su propia y peculiar manera de percibir la realidad de su entorno. Este tipo de dibujo requiere aptitudes especiales como las personales y naturales
tomado de http://www.monografias.com/trabajos14/dibujo-tecnico/dibujo-tecnico.shtml
INTRODUCCIÓN
Desde sus orígenes, el hombreha tratado de comunicarse mediante grafismos o dibujos. Las primeras representaciones que conocemos son las pinturas rupestres, en ellas no solo se intentaba representar la realidad que le rodeaba, animales, astros, al propio ser humano, etc., sino también sensaciones, como la alegría de las danzas, o la tensión de las cacerías.
A lo largo de la historia, este ansia de comunicarse mediante dibujos, ha evolucionado, dando lugar por un lado al dibujoartístico y por otro al dibujo técnico. Mientras el primero intenta comunicar ideas y sensaciones, basándose en la sugerencia y estimulando la imaginación del espectador, el dibujo técnico, tiene como fin, la representación de los objetos lo más exactamente posible, en forma y dimensiones.
Hoy en día, se está produciendo una confluencia entre los objetivosdel dibujo artístico y técnico. Esto es consecuencia de la utilización de los ordenadores en el dibujo técnico, con ellos se obtienen recreaciones virtuales en 3D, que si bien representan los objetos en verdadera magnitud y forma, también conllevan una fuerte carga de sugerencia para el espectador.
Ramas del dibujo.
Según su objetivose divide en dos formas:
Dibujo artístico que se realiza libremente y con finalidad estética.
Dibujo técnico que se realiza con otros medios auxiliares, siguiendo normas y fines prácticos.
Concepto de dibujo técnico.
El dibujo técnicoes la representación gráfica de un objeto o una idea práctica. Esta representación se guía por normas fijas y preestablecidas para poder describir de forma exacta y clara, dimensiones, formas, características y la construcción de lo que se quiere reproducir.
Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. Cuando no utilizamos estos instrumentos se llama dibujo a mano alzada o croquis.
Tipos de dibujo técnico.
Con el desarrolloindustrial y los avances tecnológicos el dibujo ha aumentado su campo de acción. Los principales son:
Dibujo arquitectónico: El dibujo arquitectónico abarca una gama de representaciones gráficascon las cuales realizamos los planos para la construcción de edificios, casas, quintas, autopistas, iglesias, fábricas y puentes entre otros. Se dibuja el proyectocon instrumentos precisos, con sus respectivos detalles, ajuste y correcciones, donde aparecen los planos de planta, fachadas, secciones, perspectivas, fundaciones, columnas, detalles y otros.
Dibujo mecánico:El dibujo mecánico se emplea en la representación de piezas o partes de máquinas, maquinarias, vehículos como grúas y motos, aviones, helicópteros y máquinas industriales. Los planos que representan un mecanismo simple o una máquina formada por un conjunto de piezas, son llamados planos de conjunto; y los que representa un sólo elemento, plano de pieza. Los que representan un conjunto de piezas con las indicaciones gráficas para su colocación, y armar un todo, son llamados planos de montaje.
Dibujo eléctrico:Este tipo de dibujo se refiere a la representación gráfica de instalaciones eléctricas en una industria, oficinao vivienda o en cualquier estructura arquitectónica que requiera de electricidad. Mediante la simbología correspondiente se representan acometidas, caja de contador, tablero principal, línea de circuitos, interruptores, toma corrientes, salidas de lámparas entre otros.
Dibujo electrónico:Se representa los circuitos que dan funcionamiento preciso a diversos aparatos que en la actualidad constituyen un adelanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, radios y otros.
Dibujo geológico: El dibujo geológico se emplea en geografía y en geología, en él se representan las diversas capas de la tierraempleando una simbología y da a conocer los mineralescontenidos en cada capa. Se usa mucho en minería y en exploraciones de yacimientos petrolíferos.
Dibujo topográfico:El dibujo topográfico nos representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno, mediante signos convencionalmente establecidos. Nos muestra los accidentes naturales y artificiales, cotas o medidas, curvas horizontales o curvas de nivel.
Dibujo urbanístico: Este tipo de dibujo se emplea en la organizaciónde ciudades: en la ubicación de centros urbanos, zonas industriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas entre otros. Se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjunto, planos de pormenor.
Importancia del dibujo técnico como elemento de comunicación.
Con la comunicación se puede transmitir elementos que percibimos por los sentidos. Estos elementos son los signos.
En el lenguajelos signos son las palabras, y es considerado la comunicación por excelencia.
El dibujo técnico es un lenguaje, una comunicación. Es un lenguaje universal con el cual nos podemos comunicar con otras personas, sin importar el idioma. Emplea signos gráficos, regido por normas internacionales que lo hacen más entendible.
Para que un dibujo técnico represente un elemento de comunicación completo y eficiente, debe ser claro, preciso y constar de todos sus datos; todo esto depende de la experiencia del dibujante en la expresión gráfica que realice, bien sea un croquis, una perspectiva o un plano.
CARACTERÍSTICAS DEL DIBUJO TÉCNICO.
El dibujo técnico posee 3 características que deben ser respetadas a la hora de realizar un trabajo:
Grafico
Universal
Preciso
Es fundamental que todas las personas, diseñadores o técnicos, sigan unas normas claras en la representación de las piezas. A nivel internacional, las normas ISOson las encargadas de marcar las directrices precisas.
En dibujo técnico, las normas de aplicación se refieren a los sistemasde representación, presentaciones (líneas, formatos, rotulación, etc.), representación de los elementos de las piezas (cortes, secciones, vistas, etc.), etc.
INSTRUMENTOS EMPLEADOS EN EL DIBUJO TÉCNICO
La realización de un dibujo técnico exige cálculo, medición, líneas bien trazadas, precisión en fin, una serie de condiciones que hacen necesario el uso de buenos instrumentos, buenos materiales, y sumado a esto, el conocimiento teórico que unido a la práctica hacen sobresalir a un dibujante.
Tablero de dibujo.
Es un instrumento de dibujo sobre el que se fija el papel para realizar el dibujo. Por lo general se construye de madera o plástico liso y de bordes planos y rectos lo cual permite el desplazamiento de la regla T.
El tamaño depende del formato que se vaya a utilizar. Para el formato escolar es suficiente un tamaño de 40 centímetros de altura por 60 centímetros de anchura.
En los talleres de dibujo técnico, en lugar de tableros, se emplean mesas construidas solamente para esta actividad, con las dimensiones e inclinación necesaria.
La regla T.
La regla T recibe ese nombre por su semejanza con la letra T. Posee dos brazos perpendiculares entre sí. El brazo transversal es más corto. Se fabrican de madera o plástico.
Se emplea para trazar líneas paralelas horizontales en forma rápida y precisa. También sirve como punto de apoyo a las escuadras y para alinear el formato y proceder a su fijación.
La regla graduada.
Es un instrumento para medir y trazar líneas rectas, su forma es rectangular, plana y tiene en sus bordes grabaciones de decímetros, centímetros y milímetros.
Por lo general son de madera o plástico. Aunque son preferibles las de plástico transparente para ver las líneas que se van trazando.
Sus longitudes varían de acuerdo al uso y oscilan de 10 a 60 centímetros Las más usuales son las de 30 centímetros.
Las escuadras.
Las escuadras se emplean para medir y trazar líneas horizontales, verticales, inclinadas, y combinada con la regla T se trazan líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Pueden llevar graduados centímetros y milímetros.
Las escuadras que se usan en dibujo técnico son dos:
- La de 45º que tiene forma de triángulo isósceles con ángulo de 90º y los otros dos de 45º.
- La escuadra de 60º llamada también cartabón que tiene forma de triángulo escaleno, cuyos ángulos miden 90º, 30º y 60º.
El transportador.
Es un instrumento utilizado para medir o transportar ángulos. Son hechos de plástico y hay de dos tipos: en forma de semicírculo dividido en 180º y en forma de círculo completo de 360º.
Los números están dispuestos en doble graduación para que se puedan leer de derecha a izquierda y de izquierda a derecha, según donde esté la abertura del ángulo.
El compás.
Es un instrumento de precisión que se emplea para trazar arcos, circunferencias y transportar medidas.
Está compuesto por dos brazos articulados en su parte superior donde está ubicada una pieza cilíndrica llamada mango por donde se toma y maneja con los dedos índice y pulgar.
Uno de los brazos tiene una aguja de acerograduable mediante un tornillo de presióny una tuerca en forma de rueda. El otro brazo posee un dispositivo que permite la colocación de portaminas u otros accesorios.
Clases de compás.
- Compás de pieza: es el compás normal que al que se le puede colocar los accesorios como el portamina o lápiz.
- Compás de puntas secas: posee en ambos extremos puntas agudas de acero y sirve para tomar o trasladar medidas.
- Compás de bigotera: se caracteriza por mantener fijos los radios de abertura. La abertura de este compás se gradúa mediante un tornillo o eje roscado. Es utilizado para trazar circunferencias de pequeñas dimensiones y circunferencias de igual radio.
- Compás de bomba: se utiliza para trazar arcos o circunferencias muy pequeñas. Está formado por un brazo que sirve de eje vertical para que el portalápiz gire alrededor de él.
Lápices.
Los lápices son elementos esenciales para la escrituray el dibujo. Están formados por una mina de grafito y una envoltura de madera. Pueden ser de sección redonda o hexagonal. Para dibujar son mejores los hexagonales porque facilitan la sujeción entre los dedos y evitan que se ruede al dejarlos sobre la mesa de dibujo.
Grados de dureza de la mina.
La mina de los lápices posee varios grados desde el más duro hasta el más blando. Con los de mina dura se trazan líneas finas de colorgris y las más blandas líneas gruesas y de color negro.
Están clasificados por letras y números. La H viene de la palabra hard que significa duro, la F significa firme y la B de black que significa negro.
Los más duros son: 4H, 3H, 2H y H. Los intermedios son: HB y F. Los más blandos son: B, 2B, 3B y 4B.
Portaminas o lapiceros.
Los portaminas son de metal o plástico y aloja en su interior la mina o minas que se deslizan mediante un resorte hacia afuera, que han de servir para escribir o trazar. Las minas son de distinta dureza. Aventaja a los lápices por el afilado de la mina y su resguardo.
Goma de borrar.
Las gomas de borrar se emplean para hacer desaparecer trazos incorrectos, errores, manchas o trazos sobrantes. Por lo general son blandas, flexibles y de tonos claros para evitar manchas en el papel.
Antes de borrar debe asegurarse de que está limpia y si hemos de borrar partes pequeñas, trazos sobrantes o líneas cercanas, debemos usar la plantilla auxiliar del borrado de acero laminado.
Para eliminar del papel las partículas de grafito se usa una goma pulverizada dentro de una almohadilla llamada borrona.
El papel.
El papel es una lámina fina hecha de unas pastas de materiales distintos como trapos, madera, cáñamo, algodón y celulosa de vegetales. Es utilizado en todo el mundo para escribir, imprimir, pintar, dibujar y otros.
Existen de diferentes tipos, tonos y texturas. Pero en el dibujo técnico se utilizan dos clases: el papel opaco y el papel traslúcido.
El papel opaco no es transparente, tiene varios tonos, desde el blanco al blanco amarillento. La cara donde se dibuja es lisa y brillante.
El papel traslúcido es transparente. Es utilizado para dibujos o copias de planos a lápiz o tinta.
El tirro.
El papel se fijará al tablero gracias a la cinta adhesiva o tirro, la cual, si es de buena calidad no dejará huella ni en el papel ni en el tablero.
Cortamos cuatro pedacitos de cinta adhesiva, de longitud 2,5 aproximadamente, y los colocamos en el borde derecho de la mesa de dibujo, presionamos con los dedos de la mano izquierda, regla T y formato, pegamos en las esquinas superiores las cintas, de manera que queden perpendiculares a las esquinas, sin que la cinta llegue al margen de la lámina.
Dibujo Artístico: El "Dibujo Artistico" se define como el tipo de dibujo que sirve para expresar ideas filosóficas o estéticas así como sentimientos y emociones. El artista cuando dibuja cosas, las dibuja tal como las ve emocionalmente de acuerdo con su propia y peculiar manera de percibir la realidad de su entorno. Este tipo de dibujo requiere aptitudes especiales como las personales y naturales
tomado de http://www.monografias.com/trabajos14/dibujo-tecnico/dibujo-tecnico.shtml
martes, 1 de febrero de 2011
clase # 2, religion grado sexto
La mitología nórdica o escandinava comprende la religión, creencias y leyendas de los pueblos escandinavos, incluyendo aquellos que se asentaron en Islandia, donde las fuentes escritas de la mitología nórdica fueron reunidas. Es la versión mejor preservada de la antigua mitología germana, común a todos los pueblos germanos, que también incluye la estrechamente relacionada mitología anglosajona. La mitología germana, a su vez, ha evolucionado de una mitología indo-europea más temprana.
La mitología nórdica era una colección de creencias e historias compartidas por los pueblos germanos septentrionales. Es importante señalar que esta mitología no era compartida por los pueblos nórdicos de etnia urálica (fineses, estonios y lapones) ni báltica (letones), quienes poseían una propia. No era una religión revelada, pues no había una verdad entregada por los divinos a los mortales (a pesar que tiene relatos de personas normales aprendiendo las historias de los dioses de una visita de o a ellos), y no tenía un libro sagrado. Esta mitología era transmitida oralmente en forma de una larga y regular poesía. Dicha transmisión continuó durante la era vikinga, y nuestro conocimiento sobre ella está basado principalmente en las Eddas y otros textos medievales escritos durante o después de la cristianización.
En el folclore escandinavo, estas creencias duraron mucho tiempo, y en algunas áreas rurales algunas tradiciones han sido mantenidas hasta hoy. Otras han sido recientemente revividas o reinventadas como el neopaganismo germano. La mitología también ha permanecido como inspiración en la literatura así como en producciones escénicas o películas.
Paganismo escandinavo es un término utilizado para describir las tradiciones religiosas comunes entre las tribus germánicas que habitaban en los países nórdicos antes y durante la cristianización de Europa del norte. El paganismo nórdico es un subconjunto del paganismo germánico, practicado en las tierras deshabitadas por las tribus germánicas en casi toda Europa central y septentrional, durante la época vikinga. El conocimiento actual sobre el paganismo nórdico ha sido inferido por los resultados arqueológicos, etimológicos, y por los materiales escritos de la época.
Algunos expertos como Georges Dumézil, sugieren que diversos elementos estructurales y temáticos dentro de las certificadas ideas religiosas escandinavas, ubican al paganismo escandinavoo, dentro de la estructura básica de la expresión pan-Indo-europea de las ideas espirituales como un todo.
La mitología nórdica o escandinava es más desconocida que otras mitologías como pueden ser la griega, romana o egipcia, siendo ésta igual de ricas en leyendas y mitos que las que hemos enumerado anteriormente.Este hecho es debido a la fragilidad de las fuentes que disponemos. Durante muchos siglos la mitología nórdica se ha trasmitido oralmente, y no fue hasta el Siglo X, con la llegada de los primeros cristianos en Escandinavia, que encontramos las primeras referencias literarias.
Y es que la llegada del Cristianismo traerá con ella la llegada de la escritura latina, permitiendo enseñar a los escandinavos la escritura. Las runas se crearon para ser únicamente grabadas y no se prestaban a la escritura de textos largos.
Entre el siglo X y siglo XII, solas algunas leyendas serán transcritas. Habrá que esperar al siglo XII y a la escritura de la Edda por Snorri Sturluson, para tener una nueva transcripción (ésta más amplia) de la mitología nórdica.
Religión panteísta que concede una importancia destacada a la Naturaleza, a la mujer y a la adivinación, la mitología nórdica coloca a la vida en el centro de su sistema. Para ellos la vida está concebida como un enfrentamiento de las fuerzas de creación y de las de disolución. Y de este enfrentamiento surge la fecundidad.
En la mitología nórdica existen dos clases de dioses: los dioses más antiguos (Vanir, son los dioses de la naturaleza, de la fecundidad y de la prosperidad) y los dioses Aesir, asociados a funciones de gobierno y de guerra
La llamada Mitología del Norte, puede ser considerada como un valioso vestigio de los comienzos de la poesía del Norte, antes que una representación de las creencias religiosas de los escandinavos. Tales fragmentos literarios contienen muchos indicativos de la época transicional, en la que la confusión de la antigua y la nueva fe se hace aparente.
El clima y el escenario de las tierras en las que los nórdicos habitaban tuvo una gran influencia en la configuración de sus primeras ideas religiosas, al igual que en la disposición de su modo de vida. La mitología del Norte es grandiosa y trágica a un tiempo. Su tema principal es la lucha perpetua que existe entre las fuerzas de la Naturaleza beneficiosas contra las dañinas y, por tanto, no es de carácter elegante e idílico, como otras mitologías europeas.
Era natural que los peligros que conllevaban la caza y la pesca bajo los cielos nublados y el sufrimiento impuesto por los largos y fríos inviernos cuando el sol nunca brilla, hicieron a nuestros antepasados nórdicos a contemplar el frío y el hielo como espíritus malignos. Con igual razón, invocaban con especial fervor las influencias benignas del calor y la luz.
Con respecto a la religión, la mayoría de los pueblos meditan sobre el pasado lejano y el distante futuro: cómo empezó este mundo y qué había antes, cuáles son los límites del mundo y cómo están situados, cómo se creó al hombre, rara vez el por qué, cómo llegará el mundo a su fin y qué es lo que pasará después. Tales reflexiones son una potente fuente de mitos y también es así en el caso de los nórdicos.
Nuestros conocimientos sobre su religión dependen de tres fuentes principales. La primera de ellas es la Edda Poética, un grupo de textos más o menos relacionados, unos poemas de longitud media o corta. El núcleo de esta colección llena un manuscrito llamado Codex Regius (el Manuscrito Real). Contiene veintinueve poemas, once de ellos sobre temas mitológicos y dieciséis, junto con dos fragmentos, sobre héroes y heroínas de la antigüedad germánica.
Los poemas éddicos están más o menos estructurados en estrofas con un grado limitado de variantes métricas, por lo cual posee una apariencia muy homogénea. Algunos son narrativos, otros son poemas de pregunta y respuesta, diálogos entre seres sobrenaturales que sirven para dar información mítica. De vez en cuando hay una serie de estrofas que contienen sabiduría o proverbios atribuidos a una de las divinidades.
Está el caso del poema llamado Hávamál (el Discurso del Altísimo). Es una obra compleja, compuesta por secuencias de estrofas individuales que fueron reunidas bajo un único encabezamiento de una fecha temprana. Incorpora temas de gran antigüedad, probablemente de la Era Vikinga. Cuenta algo de la visión nórdica del mundo. Gran parte del poema está escrito en forma de proverbios, útiles consejos, pero algo pragmáticos, de cómo dirigir la vida. Se habla de la amistad, de sus obligaciones y beneficios, de los deberes de la hospitalidad, de la importancia de la prudencia en todo momento, de la necesidad de estar bien considerado por los demás, etc. Hay, en este poema, material mágico, cantos y hechizos y una secuencia narrativa de los acontecimientos.
La Edda en Prosa, compuesta por el escritor islandés Snorri Sturluson, es la segunda gran fuente de material mitológico escandinavo. El libro se distribuye en cuatro secciones: un prólogo; Gylfaginning (La Alucinación de Gylf); Skáldskaparmál (la Dicción de los Poetas) y el Háttatal (Recuento de Estrofas).
Finalmente, la tercena fuente que nos ayuda a recomponer la religión nórdica son los poemas escáldicos, con sus intrincadas composiciones y metáforas que aluden casi siempre de forma indirecta a las cosas o personas, por medio de los kenningar. No resulta sencillo sacar un conjunto coherente de la mitología escandinava de esta mezcla de fuentes de diferentes lugares y épocas y que responden a diferentes demandas literarias a su vez. Es mucho suponer que en toda Escandinavia se mantuvieran exactamente las mismas ideas y creencias, así como convicciones religiosas, sin variaciones. Hay una confusión de relatos: algunos pertenecen a secuencias claras, otros están aparentemente dispersos, sin ningún fin.
Es difícil establecer cuánto hay de auténtica leyenda nórdica y cuánto de invención puramente literaria. También es tema de debate qué papel juegan los mitos en las creencias nórdicas, ya que un mito en sí, se dice, usa algunas ideas populares que tratan de fenómenos históricos o naturales.
Entre los mayores mitos escandinavos están aquellos que explican el principio y final de este mundo, su distribución, la creación de los primeros humanos y las luchas entre el bien y el mal, como asuntos de vital importancia para sus vidas culturales. No es sorprendente que ninguno sea muy preciso. Es una mitología apropiada para una raza guerrera, en la que las matanzas y las traiciones son moneda corriente y en la que un hombre importante demuestra su grandeza luchando contra un destino que sabe inevitable.
Hoy no hay modo de saber en qué medida los mitos literarios representaban lo que los vikingos creyeron realmente o lo que guiaba sus actos en sus vidas diarias. Los vikingos mismos no hicieron constar detalles de su religión pagana y los cristianos que entraron en contacto con ellos estuvieron poco dispuestos a describir el paganismo o a darle crédito en modo alguno. Si lo mencionaban era generalmente en términos despectivos.
El único templo pagano sobre el cual tenemos una información detallada es el de Gamla Uppsala, en Suecia central, que fue descrito por el clérigo alemán Adam de Bremen en el siglo XI. Dice que todo el edificio era dorado. El templo contenía los ídolos de tres de sus dioses. Cada uno de ellos contaba con sus propios sacerdotes y la gente les ofrecía sacrificios para obtener beneficios apropiados.
Los eruditos modernos han tendido a quitar importancia a la magnitud de las celebraciones mayores tan prolijamente y, tal vez imaginativamente, descritas en las sagas y a poner de relieve en su lugar los aspectos más locales del culto.
Igual que los pueblos germánicos en general, los escandinavos no tenían una casta sacerdotal propiamente designada. El sacerdote también era un jefe seglar, la cabeza de una familia o de la sociedad local. Aquí las Sagas Islandesas son de especial importancia, aunque de nuevo su fecha tardía y fondo cristiano pueden hacer que su información sea poco fiable como documento histórico descriptivo de las creencias paganas antiguas. No obstante, dan a entender que la religión pagana nórdica estaba estrechamente unida al ciclo anual y a la jerarquía social seglar, como ocurre en el caso de los godar, en Islandia.
La mitología nórdica era una colección de creencias e historias compartidas por los pueblos germanos septentrionales. Es importante señalar que esta mitología no era compartida por los pueblos nórdicos de etnia urálica (fineses, estonios y lapones) ni báltica (letones), quienes poseían una propia. No era una religión revelada, pues no había una verdad entregada por los divinos a los mortales (a pesar que tiene relatos de personas normales aprendiendo las historias de los dioses de una visita de o a ellos), y no tenía un libro sagrado. Esta mitología era transmitida oralmente en forma de una larga y regular poesía. Dicha transmisión continuó durante la era vikinga, y nuestro conocimiento sobre ella está basado principalmente en las Eddas y otros textos medievales escritos durante o después de la cristianización.
En el folclore escandinavo, estas creencias duraron mucho tiempo, y en algunas áreas rurales algunas tradiciones han sido mantenidas hasta hoy. Otras han sido recientemente revividas o reinventadas como el neopaganismo germano. La mitología también ha permanecido como inspiración en la literatura así como en producciones escénicas o películas.
Paganismo escandinavo es un término utilizado para describir las tradiciones religiosas comunes entre las tribus germánicas que habitaban en los países nórdicos antes y durante la cristianización de Europa del norte. El paganismo nórdico es un subconjunto del paganismo germánico, practicado en las tierras deshabitadas por las tribus germánicas en casi toda Europa central y septentrional, durante la época vikinga. El conocimiento actual sobre el paganismo nórdico ha sido inferido por los resultados arqueológicos, etimológicos, y por los materiales escritos de la época.
Algunos expertos como Georges Dumézil, sugieren que diversos elementos estructurales y temáticos dentro de las certificadas ideas religiosas escandinavas, ubican al paganismo escandinavoo, dentro de la estructura básica de la expresión pan-Indo-europea de las ideas espirituales como un todo.
La mitología nórdica o escandinava es más desconocida que otras mitologías como pueden ser la griega, romana o egipcia, siendo ésta igual de ricas en leyendas y mitos que las que hemos enumerado anteriormente.Este hecho es debido a la fragilidad de las fuentes que disponemos. Durante muchos siglos la mitología nórdica se ha trasmitido oralmente, y no fue hasta el Siglo X, con la llegada de los primeros cristianos en Escandinavia, que encontramos las primeras referencias literarias.
Y es que la llegada del Cristianismo traerá con ella la llegada de la escritura latina, permitiendo enseñar a los escandinavos la escritura. Las runas se crearon para ser únicamente grabadas y no se prestaban a la escritura de textos largos.
Entre el siglo X y siglo XII, solas algunas leyendas serán transcritas. Habrá que esperar al siglo XII y a la escritura de la Edda por Snorri Sturluson, para tener una nueva transcripción (ésta más amplia) de la mitología nórdica.
Religión panteísta que concede una importancia destacada a la Naturaleza, a la mujer y a la adivinación, la mitología nórdica coloca a la vida en el centro de su sistema. Para ellos la vida está concebida como un enfrentamiento de las fuerzas de creación y de las de disolución. Y de este enfrentamiento surge la fecundidad.
En la mitología nórdica existen dos clases de dioses: los dioses más antiguos (Vanir, son los dioses de la naturaleza, de la fecundidad y de la prosperidad) y los dioses Aesir, asociados a funciones de gobierno y de guerra
La llamada Mitología del Norte, puede ser considerada como un valioso vestigio de los comienzos de la poesía del Norte, antes que una representación de las creencias religiosas de los escandinavos. Tales fragmentos literarios contienen muchos indicativos de la época transicional, en la que la confusión de la antigua y la nueva fe se hace aparente.
El clima y el escenario de las tierras en las que los nórdicos habitaban tuvo una gran influencia en la configuración de sus primeras ideas religiosas, al igual que en la disposición de su modo de vida. La mitología del Norte es grandiosa y trágica a un tiempo. Su tema principal es la lucha perpetua que existe entre las fuerzas de la Naturaleza beneficiosas contra las dañinas y, por tanto, no es de carácter elegante e idílico, como otras mitologías europeas.
Era natural que los peligros que conllevaban la caza y la pesca bajo los cielos nublados y el sufrimiento impuesto por los largos y fríos inviernos cuando el sol nunca brilla, hicieron a nuestros antepasados nórdicos a contemplar el frío y el hielo como espíritus malignos. Con igual razón, invocaban con especial fervor las influencias benignas del calor y la luz.
Con respecto a la religión, la mayoría de los pueblos meditan sobre el pasado lejano y el distante futuro: cómo empezó este mundo y qué había antes, cuáles son los límites del mundo y cómo están situados, cómo se creó al hombre, rara vez el por qué, cómo llegará el mundo a su fin y qué es lo que pasará después. Tales reflexiones son una potente fuente de mitos y también es así en el caso de los nórdicos.
Nuestros conocimientos sobre su religión dependen de tres fuentes principales. La primera de ellas es la Edda Poética, un grupo de textos más o menos relacionados, unos poemas de longitud media o corta. El núcleo de esta colección llena un manuscrito llamado Codex Regius (el Manuscrito Real). Contiene veintinueve poemas, once de ellos sobre temas mitológicos y dieciséis, junto con dos fragmentos, sobre héroes y heroínas de la antigüedad germánica.
Los poemas éddicos están más o menos estructurados en estrofas con un grado limitado de variantes métricas, por lo cual posee una apariencia muy homogénea. Algunos son narrativos, otros son poemas de pregunta y respuesta, diálogos entre seres sobrenaturales que sirven para dar información mítica. De vez en cuando hay una serie de estrofas que contienen sabiduría o proverbios atribuidos a una de las divinidades.
Está el caso del poema llamado Hávamál (el Discurso del Altísimo). Es una obra compleja, compuesta por secuencias de estrofas individuales que fueron reunidas bajo un único encabezamiento de una fecha temprana. Incorpora temas de gran antigüedad, probablemente de la Era Vikinga. Cuenta algo de la visión nórdica del mundo. Gran parte del poema está escrito en forma de proverbios, útiles consejos, pero algo pragmáticos, de cómo dirigir la vida. Se habla de la amistad, de sus obligaciones y beneficios, de los deberes de la hospitalidad, de la importancia de la prudencia en todo momento, de la necesidad de estar bien considerado por los demás, etc. Hay, en este poema, material mágico, cantos y hechizos y una secuencia narrativa de los acontecimientos.
La Edda en Prosa, compuesta por el escritor islandés Snorri Sturluson, es la segunda gran fuente de material mitológico escandinavo. El libro se distribuye en cuatro secciones: un prólogo; Gylfaginning (La Alucinación de Gylf); Skáldskaparmál (la Dicción de los Poetas) y el Háttatal (Recuento de Estrofas).
Finalmente, la tercena fuente que nos ayuda a recomponer la religión nórdica son los poemas escáldicos, con sus intrincadas composiciones y metáforas que aluden casi siempre de forma indirecta a las cosas o personas, por medio de los kenningar. No resulta sencillo sacar un conjunto coherente de la mitología escandinava de esta mezcla de fuentes de diferentes lugares y épocas y que responden a diferentes demandas literarias a su vez. Es mucho suponer que en toda Escandinavia se mantuvieran exactamente las mismas ideas y creencias, así como convicciones religiosas, sin variaciones. Hay una confusión de relatos: algunos pertenecen a secuencias claras, otros están aparentemente dispersos, sin ningún fin.
Es difícil establecer cuánto hay de auténtica leyenda nórdica y cuánto de invención puramente literaria. También es tema de debate qué papel juegan los mitos en las creencias nórdicas, ya que un mito en sí, se dice, usa algunas ideas populares que tratan de fenómenos históricos o naturales.
Entre los mayores mitos escandinavos están aquellos que explican el principio y final de este mundo, su distribución, la creación de los primeros humanos y las luchas entre el bien y el mal, como asuntos de vital importancia para sus vidas culturales. No es sorprendente que ninguno sea muy preciso. Es una mitología apropiada para una raza guerrera, en la que las matanzas y las traiciones son moneda corriente y en la que un hombre importante demuestra su grandeza luchando contra un destino que sabe inevitable.
Hoy no hay modo de saber en qué medida los mitos literarios representaban lo que los vikingos creyeron realmente o lo que guiaba sus actos en sus vidas diarias. Los vikingos mismos no hicieron constar detalles de su religión pagana y los cristianos que entraron en contacto con ellos estuvieron poco dispuestos a describir el paganismo o a darle crédito en modo alguno. Si lo mencionaban era generalmente en términos despectivos.
El único templo pagano sobre el cual tenemos una información detallada es el de Gamla Uppsala, en Suecia central, que fue descrito por el clérigo alemán Adam de Bremen en el siglo XI. Dice que todo el edificio era dorado. El templo contenía los ídolos de tres de sus dioses. Cada uno de ellos contaba con sus propios sacerdotes y la gente les ofrecía sacrificios para obtener beneficios apropiados.
Los eruditos modernos han tendido a quitar importancia a la magnitud de las celebraciones mayores tan prolijamente y, tal vez imaginativamente, descritas en las sagas y a poner de relieve en su lugar los aspectos más locales del culto.
Igual que los pueblos germánicos en general, los escandinavos no tenían una casta sacerdotal propiamente designada. El sacerdote también era un jefe seglar, la cabeza de una familia o de la sociedad local. Aquí las Sagas Islandesas son de especial importancia, aunque de nuevo su fecha tardía y fondo cristiano pueden hacer que su información sea poco fiable como documento histórico descriptivo de las creencias paganas antiguas. No obstante, dan a entender que la religión pagana nórdica estaba estrechamente unida al ciclo anual y a la jerarquía social seglar, como ocurre en el caso de los godar, en Islandia.
clase # 5 grado octavo,matematicas
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despues tomar la obcion problemas
luego toma la obcion revoltijo de problemas
despues tomar la obcion problemas
luego toma la obcion revoltijo de problemas
problemas grado sexto clase # 5 de matematicas
Actividad #7
Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
Nivel 1
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.-representa las sigurntes operaciones en un diagrama de Venn ,
(1) ;
(2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′
cuando sea necesario:
a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}
b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}
d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {n | n es natural y n es divisible por 5}
b) { | n es primo}
c) {2n | n es natural}
d) {r | r es racional y 0 < r < 1}
3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a) {n | n ∈ N y n2 = 9}
b) {x | x ∈ R y x2 = 9}
c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}
e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}
f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.
4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.
b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d) { a, e, i, o, u }
5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A ∪ B
b) A − B
c) Ac
d) Uc
e) B ∩U
f ) Bc ∩ (C − A)
g) (A ∩ B)c ∪ C
h) B ∩C
i) A ∪ C
j) A ∩ (B ∪ C)
k) (A ∩ B) ∪ C
l) A ∩ B) − C
m) (A ∪ B) − (C − B)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a) A ∪ B
b) A ∩C
c) (A ∪ B) ∩ Cc
d) A − B
e) C − D
f ) (B − D) ∪ (D − B)
1. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.
¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
2. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?
3. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?
7. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemáticas y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
8. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
Ejercicios resueltos
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
Ejercicios propuestos
Nivel 1
1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
Nivel II
1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué?
(1) (2) (3)
2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
3.- Demuestre con diagrama de Venn que
4.-Demuestre las leyes de De Morgan:
5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
6.-representa las sigurntes operaciones en un diagrama de Venn ,
(1) ;
(2)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′
cuando sea necesario:
a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}
b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}
d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {n | n es natural y n es divisible por 5}
b) { | n es primo}
c) {2n | n es natural}
d) {r | r es racional y 0 < r < 1}
3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a) {n | n ∈ N y n2 = 9}
b) {x | x ∈ R y x2 = 9}
c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}
e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}
f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.
4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.
b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d) { a, e, i, o, u }
5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a) A ∪ B
b) A − B
c) Ac
d) Uc
e) B ∩U
f ) Bc ∩ (C − A)
g) (A ∩ B)c ∪ C
h) B ∩C
i) A ∪ C
j) A ∩ (B ∪ C)
k) (A ∩ B) ∪ C
l) A ∩ B) − C
m) (A ∪ B) − (C − B)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a) A ∪ B
b) A ∩C
c) (A ∪ B) ∩ Cc
d) A − B
e) C − D
f ) (B − D) ∪ (D − B)
1. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.
¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
2. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?
3. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?
7. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemáticas y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
8. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian alemán?
c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d) ¿Cuántos estudian francés?
ejercicios de aplicacion clase # 4 grado octavo
Problemas
1). En la película "La jungla de cristal 2", el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa con 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven?
2). Tres amigos tienen 21 botes de coca-cola, 7 de ellos están llenos, 7 vacíos y 7 llenos hasta la mitad exactamente. ¿Cómo deben repartirse los botes para que los tres se lleven el mismo número de botes y la misma cantidad de coca-cola? ( No se puede trasvasar de un bote a otro)
3). ¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel, dando sólo tres cortes rectos?
4). Un excursionista sale de su casa a las 4 de la tarde para subir a una montaña. Hasta la base de la montaña el terreno es llano y avanza a 4 km/h, subiendo va a 3 km/h y bajando a 6 km/h. Si regresa a las 10 de la noche, ¿cuántos kms ha recorrido en total?
5). ¿Cuántas veces a lo largo de un día las agujas de un reloj forman un ángulo recto?
6). Tres cervezas, 7 refrescos y una ración de calamares cuestan 2800 pts; 4 cervezas, 10 refrescos y una ración cuestan 3400 pts. ¿Cuánto habrá que pagar por una cerveza, un refresco y una ración?
7). En un campo la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Sa sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para comerse toda la hierba en 96 días?
8). Una brigada está formada por 6 armadores y un carpintero. Cada armador gana 20.000 ptas y el carpintero 3.000 ptas. más que el salario medio de los miembros de la brigada incluído el mismo. ¿Cuánto ganaba el carpintero?
9) . Un coche va por una cartera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso.
Su sorpresa es enorme cuando al cabo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche?
1). En la película "La jungla de cristal 2", el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa con 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven?
2). Tres amigos tienen 21 botes de coca-cola, 7 de ellos están llenos, 7 vacíos y 7 llenos hasta la mitad exactamente. ¿Cómo deben repartirse los botes para que los tres se lleven el mismo número de botes y la misma cantidad de coca-cola? ( No se puede trasvasar de un bote a otro)
3). ¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel, dando sólo tres cortes rectos?
4). Un excursionista sale de su casa a las 4 de la tarde para subir a una montaña. Hasta la base de la montaña el terreno es llano y avanza a 4 km/h, subiendo va a 3 km/h y bajando a 6 km/h. Si regresa a las 10 de la noche, ¿cuántos kms ha recorrido en total?
5). ¿Cuántas veces a lo largo de un día las agujas de un reloj forman un ángulo recto?
6). Tres cervezas, 7 refrescos y una ración de calamares cuestan 2800 pts; 4 cervezas, 10 refrescos y una ración cuestan 3400 pts. ¿Cuánto habrá que pagar por una cerveza, un refresco y una ración?
7). En un campo la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Sa sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para comerse toda la hierba en 96 días?
8). Una brigada está formada por 6 armadores y un carpintero. Cada armador gana 20.000 ptas y el carpintero 3.000 ptas. más que el salario medio de los miembros de la brigada incluído el mismo. ¿Cuánto ganaba el carpintero?
9) . Un coche va por una cartera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso.
Su sorpresa es enorme cuando al cabo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche?
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