Multiplicación y división de fracciones
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Fracción generatriz
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Actividad # 1
Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
1) (+12/3) • (+4/5) =
2) (-4/5) • (+13/8) =
3) (+2/6) • (-16/9) =
4) (+8/4) • (-12/9) (-16/9) =
5) (-8/2) • (+10/4) =
6) (-6/9) • (-16/9) (-15/10) =
7) (+5/12) • (+20/5) =
8) (+5/8) (-16/9) • (-12/7) =
9) (-8/3) • (-26/2) =
10) (+31/3) • (-16/9) (-10/4) =
11) (+60/2) •(-16/9) (-3/90) =
12) (+54/23) • (-4/12) =
13) (+10/23) (-16/9) • (+8/5) =
14) (-64/2) •(-16/9) (+45/4) =
15) (+10/2) • (-6/3) =
16) (+7/3) • (-9/8) =
17) (-20/3) • (+20/3) =
18) (-89/3) •(-16/9) (-16/5) =
19) (+3/6) • (+36/4) =
20) (+14/8) •(-16/9) (-30/5) =
21) (+1/2) (-4/7) • (-30/5) =
22) (+1/2) •(-16/9) (-21/9) =
23) (+69/4) •(+1/2) (-4/7) =
24) (+3/4) (+1/2) • (-54/4) =
Actividad # 2
1). (+10/2) : (+2/4) =
2). (-44/5) : (+11/8) =
3). (+36/3) : (-4/9) =
4) (+15/4) : (-37/3) =
5). (-80/9) : (+4/8) =
6). (-66/2) : (-11/2) =
7). (+25/3) : (+5/3) =
8). (+56/2) : (-1/2) =
9). (-82/2) : (-2/4) =
10). (+30/4) : (-10/7) =
11). (+60/5) : (-3/4) =
12). (+84/3) : (-4/5) =
13). (+12/4) : (+4/5) =
14). (-48/3) : (+12/3) =
15) (+11/4) : (-1/6) =
16). (+16/5) : (-2/9) =
17). (-22/8) : (+11/8) =
18). (-88/8) : (-4/5) =
19). (+12/5) : (+3/2) =
20). (+14/25) : (-7/3) =
21). (-3/14) : (-3/16) =
Actividad # 3
1) Pasar a fracción:
2) Realiza las siguientes operaciones con potencias:
3) Opera:
4) Efectúa
lunes, 31 de enero de 2011
problemas de suma de fracciones grado septimo clase # 3
Problemas
1) Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?
2) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
3) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
4) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
a) El número de votos obtenidos por cada partido.
b)El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.
5) Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
6) Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.
7) Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
8) Una persona gastó del dinero que tenía.
Al día siguiente gastó del dinero que le quedó el día anterior.
Al siguiente día volvió a gastar del dinero que le quedó el último día y vio que en el bolsillo le quedaban 1000€.
9) ¿Cuántas botellas de34 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
10) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 34
de litro. ¿Cuántos litros
de agua había en el bidón?
11) Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 38 del total, mientras que
El segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
12) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1
20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se
pueden llenar con el contenido de una botella de 34 de litro?
11) Jacinto se come los 27 de una tarta y Pepita los 35
del resto. ¿Qué fracción se ha comido
Pepita? ¿Qué fracción queda?
12) De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 16 del total y después 34 del total. ¿Cuántos litros quedan?
13) Compramos un televisor por 1.300 € y pagamos 14
al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?
14) De un depósito que estaba lleno se han sacado 23
Del total y, después, 15 del total. Sabiendo
Que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?
15) Dos atletas llevan recorrido los 312 y los 8
32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los dos va delante?
16) Un tonel de vino está lleno hasta los 7
11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros
Para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
17) En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en
Total un coche que ya ha recorrido 9 40?
18) De una cesta de manzanas se pudren 23. Comemos las 45
Del resto y las 25 restantes las Utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?
19) Entre 7 personas se reparten 49 De una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total
de la herencia?
20) Una persona ha cosechado durante la mañana 13
De un campo y por la tarde la mitad del resto.
Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?
1) Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda?
2) Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?
3) Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
4) En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
a) El número de votos obtenidos por cada partido.
b)El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.
5) Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
6) Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.
7) Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
8) Una persona gastó del dinero que tenía.
Al día siguiente gastó del dinero que le quedó el día anterior.
Al siguiente día volvió a gastar del dinero que le quedó el último día y vio que en el bolsillo le quedaban 1000€.
9) ¿Cuántas botellas de34 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
10) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 34
de litro. ¿Cuántos litros
de agua había en el bidón?
11) Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 38 del total, mientras que
El segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
12) Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1
20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se
pueden llenar con el contenido de una botella de 34 de litro?
11) Jacinto se come los 27 de una tarta y Pepita los 35
del resto. ¿Qué fracción se ha comido
Pepita? ¿Qué fracción queda?
12) De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 16 del total y después 34 del total. ¿Cuántos litros quedan?
13) Compramos un televisor por 1.300 € y pagamos 14
al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál será el importe de cada plazo?
14) De un depósito que estaba lleno se han sacado 23
Del total y, después, 15 del total. Sabiendo
Que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?
15) Dos atletas llevan recorrido los 312 y los 8
32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los dos va delante?
16) Un tonel de vino está lleno hasta los 7
11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros
Para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
17) En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en
Total un coche que ya ha recorrido 9 40?
18) De una cesta de manzanas se pudren 23. Comemos las 45
Del resto y las 25 restantes las Utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?
19) Entre 7 personas se reparten 49 De una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total
de la herencia?
20) Una persona ha cosechado durante la mañana 13
De un campo y por la tarde la mitad del resto.
Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?
suma y resata de fracciones clase # 2
Operaciones con fracciones
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
4
6
9
7
12
7
4
7
+ =
20
7
- =
23
7
14
7
+
15
11
10
11
+ =
21
11
- =
43
11
29
11
+
21
13
14
13
+ =
10
13
- =
89
13
78
13
+
31
17
41
17
+ =
38
17
- =
103
19
94
19
6
7
+
-
3
7
=
9 - 3
7
=
3
6
+
8
6
15
6
= =
4 + 3 + 8
6
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Pág. 1
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
4 En el cumpleaños de Ana se dividió una tarta en 12 partes iguales. Ana se comió
de tarta, Luisa se comió de tarta, Pedro se comió de tarta y Carlos se
comió de tarta.
a) ¿Qué fracción de tarta se comieron entre los cuatro amigos?
b) ¿Qué fracción de tarta quedó?
9
2
• +
13
2
-
4
2
+
1
2
=
8
3
• -
7
3
-
4
3
+
12
3
=
9
7
• -
5
7
+
3
7
-
1
7
+
3
7
=
14
11
• -
3
11
+
1
11
+
2
11
+
8
11
=
21
13
2
12
3
12
4
12
1
12
• -
4
13
-
1
13
+
11
13
+
2
13
=
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Pág. 2
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos
cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción
por el producto de los denominadores de las demás.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados las
siguientes fracciones.
y
3
2
5
4
1
5
60
40
50
40
8
40
4
5
2
10
y
3
8
2
3
,
1
2
1
3
y
1
4
,
2
3
3
5
y
4
7
,
3
5
4
9
y
1
2
,
2
7
3
8
y
1
5
3
2
60
40
= = ;
3 · 4 · 5
2 · 4 · 5
5
4
50
40
= = ;
5 · 2 · 5
2 · 4 · 5
1
5
8
40
= =
1 · 2 · 4
2 · 4 · 5
Las fracciones buscadas son:
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 3
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR
POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común
múltiplo se procede así:
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el
denominador común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el
cociente obtenido se multiplica por el numerador.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
1
4
3
5
1
8
10
40
24
40
5
40
,
2
3
1
2
y
4
5
,
4
3
1
8
y
8
9
,
2
5
4
7
y
1
9
,
3
7
4
9
y
1
10
1
4
10
40
= = ;
1 · 10
40
3
5
24
40
= = ;
3 · 8
40
1
8
5
40
= =
1 · 5
40
Las fracciones buscadas son:
m.c.m. (4, 5, 8) = 40
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 4
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador:
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
1
5
4
3
+ =
1
2
+
2
3
1
9
+ =
3
5
+
4
7
2
4
+ =
1
8
+
3
2
1
5
+ =
1
10
+
3
8
1
4
+ =
3
16
4
5
+
1
3
+
1
2
49
30
=
4 · 6
30
+
1 · 10
30
+
1 · 15
30
=
m.c.m. (5, 3, 2) = 30
2
3
-
1
4
5
12
=
2 · 4
12
-
1 · 3
12
=
m.c.m. (3, 4) = 12
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Pág. 5
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
-
4
5
1
7
=
-
3
10
1
12
=
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
+
1
2
1
3
-
+
1
3
1
6
+
+
1
4
1
5
=
-
1
4
1
8
=
-
2
3
4
7
=
-
9
15
3
8
=
4 Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kg que utilizan de cada
tipo de café y calcula:
La fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y
en la mezcla B.
Mezcla A
1/2 de kg Brasil
1/4 de kg Guinea
1/5 de kg Venezuela
Resto Colombia
Mezcla B
1/8 de kg Brasil
1/5 de kg Guinea
1/6 de kg Venezuela
Resto Colombia
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Pág. 6
1
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos de fracciones.
2 Calcula.
x
2
3
1
4
x
3
5
x
1
8
2
3
x
2
9
x
3
7
2
9
x
=
=
=
=
1
8
x
4
7
5
6
x
9
5
4
5
x
2
3
x
1
4
8
60
4 x 2 x 1
5 x 3 x 4
= =
x
1
9
3
11
x = =
4
7
x
3
2
de
1
2
de x
2
3
2
3
60
1
de
3
4
de
3
5
de
5
7
de
60
90
490
4
7
= x =
10
3
1
2
10
3
10
6
= =
120
3
= 40
=
2
9
=
=
9
6
=
9
10
x
4
6
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Pág. 7
1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción por otra fracción , se multiplica la fracción
por la fracción inversa de , o lo que es lo mismo,
se multiplican en cruz los términos de las fracciones
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes.
3
7
:
2
8
9
12
:
7
5
4
11
:
=
=
=
=
3
16
4
17
:
3
16
4
5
:
3
7
=
=
7
9
:
2
12
a
b
c
d
a
b
c
d
a x d
b x c
c
d
c
d
d
c
a
b
de x =
4
5
x = : =
1
2
1
2
=
5
8
1 x 5
2 x 4
4
5
Inversa
Ejemplo
: = .
4
5
3
8
32
15
4 x 8
5 x 3
: = =
de x =
2
3
x =
3
8
de x =
3
11
x =
7
12
de x = 30
5
10
30
1
= :
5
10
x =
de x = 48
6
12
x =
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Pág. 8
PROBLEMAS DE FRACCIONES
1 Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido
los de un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los del trayecto, y en la
tercera hora, ha recorrido los del trayecto. Calcula:
a) La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.
b) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.
c) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.
5
18
7
25
11
45
2 Un depósito estaba lleno de agua. Primero, se sacaron de su contenido y después
se sacó del agua que quedó en el depósito. Calcula:
a) La fracción de contenido que quedó después de sacar Ios del contenido.
b) La fracción de contenido que quedó después de sacar del agua que quedaba.
c) Los Iitros de agua que quedaron en el depósito, si el depósito contenía
120 litros de agua.
1
6
5
8
1
6
5
8
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3 En la estantería A hay 60 botellas de de litro cada una y en la estantería B hay
120 botellas de de litro cada una. Calcula:
a) Los litros que contienen las botellas de cada estantería.
b) El número de botellas de de litro que se llenan con 75 litros.
1
4
1
5
3
4
4 Un bidón contiene 600 litros de leche. La mitad se envasa en botellas de de
litro; 200 litros se envasan en botellas de de litro, y el resto de la leche se envasa
en botellas de de litro. Calcula:
a) El número de botellas de de litro que se llenan.
b) El número de botellas de de litro que se llenan.
c) El número de botellas de de litro que se llenan.
1
4
1
3
1
4
1
2
1
2
5 Un peatón ha andado 4 km en de hora.
¿Cuántos kilómetros andará en 1 hora?
2
3
1
3
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Pág. 10
6 Un pueblo tiene 3.000 habitantes. Los de los habitantes tienen menos
de 20 años y los de los habitantes tienen entre 20 y 30 años. Calcula:
a) El número de habitantes con menos de 20 años que tiene el pueblo.
b) El número de habitantes entre 20 y 30 años que tiene el pueblo.
c) La fracción del total de habitantes que tiene menos de 30 años.
7
60
19
50
7 Una finca tiene una superficie de 2.016 m2. Los de la finca están sembrados
de trigo, los de la finca están sembrados de cebada y el resto está sin
sembrar. Calcula:
a) La fracción de superficie que está sembrada.
b) La fracción de superficie que está sin sembrar.
c) Los metros cuadrados que hay sembrados y los metros cuadrados que hay
sin sembrar.
35
48
16
63
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Pág. 11
8 En un concurso de dibujo se presentaron 90 participantes; de los participantes
obtuvieron como premio una bicicleta; de los participantes obtuvieron como
premio un juego, y el resto de los participantes obtuvieron un cuento. Calcula:
a) La fracción de participantes que obtuvieron un cuento.
b) El número de participantes que obtuvieron cada premio.
1
9
1
18
7 Un comerciante tiene 120 kilos de café. Ha envasado 40 bolsas de de kilo cada
una, 28 bolsas de de kilo cada una y 20 bolsas de de kilo cada una. Calcula:
a) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
b) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
c) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
d) El número de kilos de café que le quedan todavía por envasar.
3
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
2
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1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones del mismo denominador, se restan los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
4
6
9
7
12
7
4
7
+ =
20
7
- =
23
7
14
7
+
15
11
10
11
+ =
21
11
- =
43
11
29
11
+
21
13
14
13
+ =
10
13
- =
89
13
78
13
+
31
17
41
17
+ =
38
17
- =
103
19
94
19
6
7
+
-
3
7
=
9 - 3
7
=
3
6
+
8
6
15
6
= =
4 + 3 + 8
6
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Pág. 1
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
4 En el cumpleaños de Ana se dividió una tarta en 12 partes iguales. Ana se comió
de tarta, Luisa se comió de tarta, Pedro se comió de tarta y Carlos se
comió de tarta.
a) ¿Qué fracción de tarta se comieron entre los cuatro amigos?
b) ¿Qué fracción de tarta quedó?
9
2
• +
13
2
-
4
2
+
1
2
=
8
3
• -
7
3
-
4
3
+
12
3
=
9
7
• -
5
7
+
3
7
-
1
7
+
3
7
=
14
11
• -
3
11
+
1
11
+
2
11
+
8
11
=
21
13
2
12
3
12
4
12
1
12
• -
4
13
-
1
13
+
11
13
+
2
13
=
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Pág. 2
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
POR EL MÉTODO DE LOS PRODUCTOS CRUZADOS
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos
cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción
por el producto de los denominadores de las demás.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados las
siguientes fracciones.
y
3
2
5
4
1
5
60
40
50
40
8
40
4
5
2
10
y
3
8
2
3
,
1
2
1
3
y
1
4
,
2
3
3
5
y
4
7
,
3
5
4
9
y
1
2
,
2
7
3
8
y
1
5
3
2
60
40
= = ;
3 · 4 · 5
2 · 4 · 5
5
4
50
40
= = ;
5 · 2 · 5
2 · 4 · 5
1
5
8
40
= =
1 · 2 · 4
2 · 4 · 5
Las fracciones buscadas son:
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 3
1
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMlNADOR
POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común
múltiplo se procede así:
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el
denominador común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el
cociente obtenido se multiplica por el numerador.
Ejemplo:
Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
1
4
3
5
1
8
10
40
24
40
5
40
,
2
3
1
2
y
4
5
,
4
3
1
8
y
8
9
,
2
5
4
7
y
1
9
,
3
7
4
9
y
1
10
1
4
10
40
= = ;
1 · 10
40
3
5
24
40
= = ;
3 · 8
40
1
8
5
40
= =
1 · 5
40
Las fracciones buscadas son:
m.c.m. (4, 5, 8) = 40
Vamos a reducir a común denominador las fracciones:
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Pág. 4
1
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR
• Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplo:
• Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a
común denominador; después se restan los numeradores y se deja el
mismo denominador:
Ejemplo:
Calcula las siguientes sumas de fracciones.
+
1
5
4
3
+ =
1
2
+
2
3
1
9
+ =
3
5
+
4
7
2
4
+ =
1
8
+
3
2
1
5
+ =
1
10
+
3
8
1
4
+ =
3
16
4
5
+
1
3
+
1
2
49
30
=
4 · 6
30
+
1 · 10
30
+
1 · 15
30
=
m.c.m. (5, 3, 2) = 30
2
3
-
1
4
5
12
=
2 · 4
12
-
1 · 3
12
=
m.c.m. (3, 4) = 12
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Pág. 5
2 Calcula las siguientes restas de fracciones.
-
4
5
1
7
=
-
3
10
1
12
=
3 Calcula las siguientes sumas y restas combinadas.
+
1
2
1
3
-
+
1
3
1
6
+
+
1
4
1
5
=
-
1
4
1
8
=
-
2
3
4
7
=
-
9
15
3
8
=
4 Juan y María mezclan café de Colombia, café de Brasil, café de Guinea y café de
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la fracción de kg que utilizan de cada
tipo de café y calcula:
La fracción de kg que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A y
en la mezcla B.
Mezcla A
1/2 de kg Brasil
1/4 de kg Guinea
1/5 de kg Venezuela
Resto Colombia
Mezcla B
1/8 de kg Brasil
1/5 de kg Guinea
1/6 de kg Venezuela
Resto Colombia
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1
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores.
Ejemplo:
Calcula los siguientes productos de fracciones.
2 Calcula.
x
2
3
1
4
x
3
5
x
1
8
2
3
x
2
9
x
3
7
2
9
x
=
=
=
=
1
8
x
4
7
5
6
x
9
5
4
5
x
2
3
x
1
4
8
60
4 x 2 x 1
5 x 3 x 4
= =
x
1
9
3
11
x = =
4
7
x
3
2
de
1
2
de x
2
3
2
3
60
1
de
3
4
de
3
5
de
5
7
de
60
90
490
4
7
= x =
10
3
1
2
10
3
10
6
= =
120
3
= 40
=
2
9
=
=
9
6
=
9
10
x
4
6
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Pág. 7
1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción por otra fracción , se multiplica la fracción
por la fracción inversa de , o lo que es lo mismo,
se multiplican en cruz los términos de las fracciones
Ejemplo:
Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
2 Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes.
3
7
:
2
8
9
12
:
7
5
4
11
:
=
=
=
=
3
16
4
17
:
3
16
4
5
:
3
7
=
=
7
9
:
2
12
a
b
c
d
a
b
c
d
a x d
b x c
c
d
c
d
d
c
a
b
de x =
4
5
x = : =
1
2
1
2
=
5
8
1 x 5
2 x 4
4
5
Inversa
Ejemplo
: = .
4
5
3
8
32
15
4 x 8
5 x 3
: = =
de x =
2
3
x =
3
8
de x =
3
11
x =
7
12
de x = 30
5
10
30
1
= :
5
10
x =
de x = 48
6
12
x =
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PROBLEMAS DE FRACCIONES
1 Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido
los de un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los del trayecto, y en la
tercera hora, ha recorrido los del trayecto. Calcula:
a) La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.
b) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.
c) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.
5
18
7
25
11
45
2 Un depósito estaba lleno de agua. Primero, se sacaron de su contenido y después
se sacó del agua que quedó en el depósito. Calcula:
a) La fracción de contenido que quedó después de sacar Ios del contenido.
b) La fracción de contenido que quedó después de sacar del agua que quedaba.
c) Los Iitros de agua que quedaron en el depósito, si el depósito contenía
120 litros de agua.
1
6
5
8
1
6
5
8
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Pág. 9
3 En la estantería A hay 60 botellas de de litro cada una y en la estantería B hay
120 botellas de de litro cada una. Calcula:
a) Los litros que contienen las botellas de cada estantería.
b) El número de botellas de de litro que se llenan con 75 litros.
1
4
1
5
3
4
4 Un bidón contiene 600 litros de leche. La mitad se envasa en botellas de de
litro; 200 litros se envasan en botellas de de litro, y el resto de la leche se envasa
en botellas de de litro. Calcula:
a) El número de botellas de de litro que se llenan.
b) El número de botellas de de litro que se llenan.
c) El número de botellas de de litro que se llenan.
1
4
1
3
1
4
1
2
1
2
5 Un peatón ha andado 4 km en de hora.
¿Cuántos kilómetros andará en 1 hora?
2
3
1
3
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6 Un pueblo tiene 3.000 habitantes. Los de los habitantes tienen menos
de 20 años y los de los habitantes tienen entre 20 y 30 años. Calcula:
a) El número de habitantes con menos de 20 años que tiene el pueblo.
b) El número de habitantes entre 20 y 30 años que tiene el pueblo.
c) La fracción del total de habitantes que tiene menos de 30 años.
7
60
19
50
7 Una finca tiene una superficie de 2.016 m2. Los de la finca están sembrados
de trigo, los de la finca están sembrados de cebada y el resto está sin
sembrar. Calcula:
a) La fracción de superficie que está sembrada.
b) La fracción de superficie que está sin sembrar.
c) Los metros cuadrados que hay sembrados y los metros cuadrados que hay
sin sembrar.
35
48
16
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8 En un concurso de dibujo se presentaron 90 participantes; de los participantes
obtuvieron como premio una bicicleta; de los participantes obtuvieron como
premio un juego, y el resto de los participantes obtuvieron un cuento. Calcula:
a) La fracción de participantes que obtuvieron un cuento.
b) El número de participantes que obtuvieron cada premio.
1
9
1
18
7 Un comerciante tiene 120 kilos de café. Ha envasado 40 bolsas de de kilo cada
una, 28 bolsas de de kilo cada una y 20 bolsas de de kilo cada una. Calcula:
a) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
b) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
c) Los kilos de café que ha empleado para envasar las bolsas de de kilo.
d) El número de kilos de café que le quedan todavía por envasar.
3
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
2
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producto cartesiano clase #4 gardo sexto
Temas: diferencia simétrica y producto cartesiano
DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
la diferencia simétrica de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos no son comunes formando un nuevo conjunto llamado diferencia simétrica.
Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos
Δ el símbolo de la diferencia simétrica es: Δ
Δ la diferencia simétrica del conjunto a y el conjunto b, se representa como: A Δ B
Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva
Sean dos conjuntos a y b.
Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}
La diferencia simétrica posible se representa así A Δ B = {j, u, d, e, m, a, n}
Diagrama de veen de una diferencia simétrica de conjuntos
Sean a y b dos conjuntos cualesquiera, su diferencia simétrica estará representada por el área rellenada de color:
la diferencia simétrica A Δ B
A B
producto cartesiano
definición
dados los conjuntos a y b , su producto cartesiano ( a × b ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a a y el segundo a b :
Sean:
A = { a , b , c }
B = { d , e }
Entonces su producto cartesiano es:
A × B = { ( a , d ) , ( a , e ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( c , d ) , ( c , e ) }
Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
ACTIVIDAD: 6
Sean los conjuntos
F = {2, 6 , 7,5 }
G = {a, b, c, d , e }
D = {a, b, c, d, e,f }
C = {2, 3, 4,5,6}
N = {a, b, c, d, e, f, h}
M = {2, 3, 4, 5,6}
Hallar
F×G=
D×C=
N×M=
2). Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
3). Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que #
# , # ,# , #
se pide calcular:
#
#
#
#
#
4). Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado , conociéndose los resultados la tabla siguiente,.
Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres
Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115
Responda:
El número de personas consultadas
El número de personas que sólo consumen la marca A
El número de personas que no consumen las marcas A o C.
El número de personas que consumen al menos dos marcas.
De todos los empleados de una firma, 30% optaron por un plan de asistencia médica. La firma tiene la casa matriz en la capital y sólo dos filiales, una en Antofagasta y la otra en Calama. 45% de los empleados trabajan en la casa matriz y 20% de los empleados trabajan en la filial de Antofagasta. Sabiendo que el 20% de los empleados de la capital optaron por el plan de asistencia médica y que 35% de los empleados de la filial de Antofagasta lo hicieron ¿cuál es el porcentaje de los empleados de la filial de Calama que optaron por el plan?
En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:
¿Cuántos individuos tiene la comunidad?
¿Cuántos individuos son de raza amarilla?
6) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "áscaris" . Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A y B.
El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.
El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.
El paciente no tiene las enfermedades descritas.
El paciente tiene sólo tifoidea.
DEFINICION DE DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
la diferencia simétrica de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos no son comunes formando un nuevo conjunto llamado diferencia simétrica.
Simbología de la diferencia simétrica de conjuntos
Δ el símbolo de la diferencia simétrica es: Δ
Δ la diferencia simétrica del conjunto a y el conjunto b, se representa como: A Δ B
Realización de la diferencia simétrica de conjuntos en forma extensiva
Sean dos conjuntos a y b.
Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}
La diferencia simétrica posible se representa así A Δ B = {j, u, d, e, m, a, n}
Diagrama de veen de una diferencia simétrica de conjuntos
Sean a y b dos conjuntos cualesquiera, su diferencia simétrica estará representada por el área rellenada de color:
la diferencia simétrica A Δ B
A B
producto cartesiano
definición
dados los conjuntos a y b , su producto cartesiano ( a × b ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a a y el segundo a b :
Sean:
A = { a , b , c }
B = { d , e }
Entonces su producto cartesiano es:
A × B = { ( a , d ) , ( a , e ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( c , d ) , ( c , e ) }
Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
ACTIVIDAD: 6
Sean los conjuntos
F = {2, 6 , 7,5 }
G = {a, b, c, d , e }
D = {a, b, c, d, e,f }
C = {2, 3, 4,5,6}
N = {a, b, c, d, e, f, h}
M = {2, 3, 4, 5,6}
Hallar
F×G=
D×C=
N×M=
2). Dado los conjuntos A = { 4 , 7 } y B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , determine los elementos de A × B .
3). Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que #
# , # ,# , #
se pide calcular:
#
#
#
#
#
4). Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado , conociéndose los resultados la tabla siguiente,.
Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres
Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115
Responda:
El número de personas consultadas
El número de personas que sólo consumen la marca A
El número de personas que no consumen las marcas A o C.
El número de personas que consumen al menos dos marcas.
De todos los empleados de una firma, 30% optaron por un plan de asistencia médica. La firma tiene la casa matriz en la capital y sólo dos filiales, una en Antofagasta y la otra en Calama. 45% de los empleados trabajan en la casa matriz y 20% de los empleados trabajan en la filial de Antofagasta. Sabiendo que el 20% de los empleados de la capital optaron por el plan de asistencia médica y que 35% de los empleados de la filial de Antofagasta lo hicieron ¿cuál es el porcentaje de los empleados de la filial de Calama que optaron por el plan?
En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:
¿Cuántos individuos tiene la comunidad?
¿Cuántos individuos son de raza amarilla?
6) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "áscaris" . Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A y B.
El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.
El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.
El paciente no tiene las enfermedades descritas.
El paciente tiene sólo tifoidea.
operaciones entre conjuntos clase 2 y 3
CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
Actividad # 3
m o k y p v
r w m w u q u w o u q n a r q p
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m o g c h e
i q i
c d w h i m r x h n q v o
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o
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p
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t y n j e p w p k k v a w b a
j o n y f a l q
Buscar las siguientes palabras
Intersección
Unión
Universal
Conjunto
Diferencia
Complemento
Subconjunto
Potencia
Simétrica
veen
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B - C c) A – B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a }
Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
Actividad: 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticales
2. Cuántos alumnos estudian inglés o francés de acuerdo con la pregunta 7 del taller #4
3. Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son .
7. dados dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. se le llama
8. capital de Colombia
9. capital de Rusia
12. la operación entre dos conjuntos que es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se llama
13. Los diagramas que son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, se llaman diagramas de .
Horizontales
1. estados unidos
4. la operación entre dos conjuntos que da como resultado los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se llama
5. capital de Australia
6. capital de corea del sur
10. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama
11. capital del Japón
14. Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso
15. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama conjunto de
Actividad # 5
1. Sean los conjuntos Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Dados los conjuntos Obtenga un conjunto X tal que
3. Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando ejemplos numéricos):
a)
b)
c)
d)
4. Sea . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Dado los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # , determine el número de subconjuntos de
6. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica.
HABITO DE FUMAR
SI NO
Bronquitis Presión Sistólica Presión Sistólica
ALTA NORMAL ALTA NORMAL
SI 400 300 150 100
NO 200 50 40 30
a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis
b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis?
c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?
7. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.
m o k y p v
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Buscar las siguientes palabras
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U.
Sean los conjuntos:
A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U = { animales }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U = { seres humanos }
Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .
a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos
2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces 22 = 4 elementos
b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos
2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces 23 = 8 elementos
Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
Conjuntos disjuntos Conjuntos no disjuntos
A = { 2, 4, 6 } M = { o, p, q, r, s }
B = { 1, 3, 5 } N = { s, t, v, u }
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
C = { x/x es una letra del alfabeto } P = { x/x es una letra de la palabra aritmética }
D = { x/x es un número } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra }
C y D son disjuntos P y Q no son disjuntos
Actividad # 3
m o k y p v
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Buscar las siguientes palabras
Intersección
Unión
Universal
Conjunto
Diferencia
Complemento
Subconjunto
Potencia
Simétrica
veen
DIAGRAMA DE VENN
A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).
El gráfico es la representación de la unión
El gráfico es la representación de la intersección
El gráfico es la representación de la diferencia
UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:
A U B = {x / x A o x B}
En forma gráfica:
Cuando no tienen Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A U C b) B U C c) A U B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 }
A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, , 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C
b) B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }
B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }
A U B = { , 1, , 3, , 5 }
Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:
A B = { x / x A y x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
Cuando tienen Cuando no tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
Tenemos:
a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }
A C = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }
B C = { }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }
A B = { , }
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x A y x B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C b) B - C c) A – B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A' = { x/x U y x A }
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
Su complemento de A es: A' = { m, a, r }
En forma gráfica:
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética} y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c } B = { i, a }
Su complemento de B es: B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
Actividad: 4
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
Verticales
2. Cuántos alumnos estudian inglés o francés de acuerdo con la pregunta 7 del taller #4
3. Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son .
7. dados dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. se le llama
8. capital de Colombia
9. capital de Rusia
12. la operación entre dos conjuntos que es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se llama
13. Los diagramas que son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, se llaman diagramas de .
Horizontales
1. estados unidos
4. la operación entre dos conjuntos que da como resultado los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se llama
5. capital de Australia
6. capital de corea del sur
10. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama
11. capital del Japón
14. Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso
15. La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama conjunto de
Actividad # 5
1. Sean los conjuntos Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Dados los conjuntos Obtenga un conjunto X tal que
3. Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando ejemplos numéricos):
a)
b)
c)
d)
4. Sea . Diga cuales de las proposiciones de más abajo son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5. Dado los conjuntos A y B tales que # A = 4, # B = 5 y # , determine el número de subconjuntos de
6. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica.
HABITO DE FUMAR
SI NO
Bronquitis Presión Sistólica Presión Sistólica
ALTA NORMAL ALTA NORMAL
SI 400 300 150 100
NO 200 50 40 30
a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis
b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis?
c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?
7. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.
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planeacion de matematicas grado octavo primer periodo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARINA ORTH
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: octavo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
24 al 28 de enero
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 1 se realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Clase # 2 y 3 realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Luego se realizaran ejercicios los cuales contendrán crucigramas y otras actividades
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
31 de enero al 4 de febrero.
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 5 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 6 explicación sobre el conjunto de los números racionales e irracionales
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
7 al 11 de febrero
ACTIVIDADES
Clase #7 Expresiones algebraicas Explicación y solución de preguntas
Clase #8 y 9 suma y resta de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (DEL 14 AL 18 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
Clase # 10 suma y resta de polinomios
clase #11 y 12 multiplicacion de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5(20 AL 24 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
clase #13 multiplicacion de polinomios
clase #14 potenciacion de monomios
clase #15 cocientes notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (27 AL
ACTIVIDADES
clase #16 y 17 cocientes notables
clase#18 productos notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
clase# 19 y 20 productos notables
CLASE#21 PRODUCTOS NOTABLES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
CLASE#22,23 Y 24 DIVISION DE POLINOMIOS
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
CLASE#25, 26 REGLA DE RUFFINI
CLASE# 27 REGLA DE RUFFINI
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
CLASE#28,29,30 FACTORIZACION DE POLINOMIOS(FACTOR COMUN MONOMIO),FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS,DIFERENCIA DE CUADRADOS,TRINOMIO CUADRADO PERFECTO)
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: octavo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No. 1
24 al 28 de enero
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 1 se realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Clase # 2 y 3 realizaran de talleres sobre las operaciones entre conjuntos numéricos.
Luego se realizaran ejercicios los cuales contendrán crucigramas y otras actividades
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2
31 de enero al 4 de febrero.
Conjuntos numéricos
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 5 durante esta clase se realizara un taller sobre la solución de problemas utilizando conjuntos numéricos
Clase # 6 explicación sobre el conjunto de los números racionales e irracionales
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3
7 al 11 de febrero
ACTIVIDADES
Clase #7 Expresiones algebraicas Explicación y solución de preguntas
Clase #8 y 9 suma y resta de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (DEL 14 AL 18 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
Clase # 10 suma y resta de polinomios
clase #11 y 12 multiplicacion de polinomios
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5(20 AL 24 DE FEBRERO)
ACTIVIDADES
clase #13 multiplicacion de polinomios
clase #14 potenciacion de monomios
clase #15 cocientes notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (27 AL
ACTIVIDADES
clase #16 y 17 cocientes notables
clase#18 productos notables
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7
ACTIVIDADES
clase# 19 y 20 productos notables
CLASE#21 PRODUCTOS NOTABLES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8
ACTIVIDADES
CLASE#22,23 Y 24 DIVISION DE POLINOMIOS
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9
ACTIVIDADES
CLASE#25, 26 REGLA DE RUFFINI
CLASE# 27 REGLA DE RUFFINI
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10
ACTIVIDADES
CLASE#28,29,30 FACTORIZACION DE POLINOMIOS(FACTOR COMUN MONOMIO),FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS,DIFERENCIA DE CUADRADOS,TRINOMIO CUADRADO PERFECTO)
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
domingo, 30 de enero de 2011
planeacion grado septimo primer periodo
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARINA ORTH
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: septimo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No.1(24 al 28 de enero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de fracción y análisis de preguntas sobre las fracciones
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 suma y resta de números fraccionarios. Se explicara este tema.
Luego se solucionara un taller sobre suma y resta de números fraccionarios en la clase #2, en la clase # 3 se soluciona un crucigrama y se realizan problemas de aplicación de la suma de números fraccionarios .
Y se dejara una actividad de tarea sobre problemas con números fraccionarios.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2 (31 de enero al 4 de febrero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre suma de fracciones y después se realizara una evaluación
Clase # 5 durante esta clase se explicara la multiplicación y la división de números fraccionarios y después se realizara un taller.
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller de problemas de aplicación sobre la multiplicación y la división de números fraccionarios .
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 3 (del 7 al 11 de febrero)
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 durante esta clase se explicara la potenciacion y radicacion de fraccionarios para lo cual se contara con crucigrnas y otras actividades)
clase # 9 solucion de problemas haciendo el uso de la potenciacion y radicacion.
.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 4 (del 14 al 18 de febrero)
ACTIVIDADES
clase#10 numeros enteros explicacion del concepto de numeros enteros, valor absoluto y orden en los enteros
Clase # 11 y 12 suma y resta de numeros enteros durante esta clase se explicara este tema se utilizaran videos sobre la suma y despues se realizara un taller el cual constara de crucigramas y sopa de letras
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5 (del 21 al 25 de febrero)
clase#13 solucion de problemas de aplicacion de la suma y la resta
clase#14 y 15 se explico multiplicacion y division de numeros enteros se utizaran videos,se realizaran talleres de enteros enteros.
clase #16 se explico la potenciacion y la radicacion de numeros enteros y se realizaron ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 6 (del 28 al 4 de marzo)
clase # 17 y 18 se realizo taller sobre la potenciacion y la radicacion de numeros enteros
clase#19 se realizaran ejercicios de aplicacion de la potenciacion y la radicacion
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 7 (del 7 al 11 de marzo)
clase#20 y 21 se explico la solucion de ecuaciones con una incognita y se realizaron talleres
clase#23 realizacion de taller sobre las ecuaciones
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 8 (del 14 al 18 de marzo)
clase#24 ,25 y 26 realizacion de problemas sobre ecuaciones enteras con una sola incognita
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 9 (del 21 al 25 de marzo)
clase# 27,28,representacion numeros decimales en la recta numerica
clase#29 suma y resta de numeros decimales explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de ejercicios
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 10( del 28 de marzo al 1 de abril)
clase#30y31 suma y resta de numeros decimales,explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de talleres
ACTIVIDADES
SEGUIMIENTO
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DOCENTE RECTOR
Planeación por período
AREA: matemática
GRADO: septimo
DOCENTE: Antonio Alfredo Hinestroza Hinestroza
PERÌODO:1
FECHA DE INICIO:
24 de enero de 2010
FECHA DE FINALIZACIÓN:
25 de marzo de 2010
SEMANA No.1(24 al 28 de enero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 1 Explicación del concepto de fracción y análisis de preguntas sobre las fracciones
Realización de un taller, solución de crucigrama y se deja tarea para la casa.
Clase # 2 y 3 suma y resta de números fraccionarios. Se explicara este tema.
Luego se solucionara un taller sobre suma y resta de números fraccionarios en la clase #2, en la clase # 3 se soluciona un crucigrama y se realizan problemas de aplicación de la suma de números fraccionarios .
Y se dejara una actividad de tarea sobre problemas con números fraccionarios.
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 2 (31 de enero al 4 de febrero)
fracciones
ACTIVIDADES
Clase # 4 durante esta clase se realizara un taller sobre suma de fracciones y después se realizara una evaluación
Clase # 5 durante esta clase se explicara la multiplicación y la división de números fraccionarios y después se realizara un taller.
Clase # 6 solución de un crucigrama. y un taller de problemas de aplicación sobre la multiplicación y la división de números fraccionarios .
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SEMANA No. 3 (del 7 al 11 de febrero)
ACTIVIDADES
Clase # 7 y 8 durante esta clase se explicara la potenciacion y radicacion de fraccionarios para lo cual se contara con crucigrnas y otras actividades)
clase # 9 solucion de problemas haciendo el uso de la potenciacion y radicacion.
.
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SEMANA No. 4 (del 14 al 18 de febrero)
ACTIVIDADES
clase#10 numeros enteros explicacion del concepto de numeros enteros, valor absoluto y orden en los enteros
Clase # 11 y 12 suma y resta de numeros enteros durante esta clase se explicara este tema se utilizaran videos sobre la suma y despues se realizara un taller el cual constara de crucigramas y sopa de letras
SEGUIMIENTO
SEMANA No. 5 (del 21 al 25 de febrero)
clase#13 solucion de problemas de aplicacion de la suma y la resta
clase#14 y 15 se explico multiplicacion y division de numeros enteros se utizaran videos,se realizaran talleres de enteros enteros.
clase #16 se explico la potenciacion y la radicacion de numeros enteros y se realizaron ejercicios
ACTIVIDADES
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SEMANA No. 6 (del 28 al 4 de marzo)
clase # 17 y 18 se realizo taller sobre la potenciacion y la radicacion de numeros enteros
clase#19 se realizaran ejercicios de aplicacion de la potenciacion y la radicacion
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SEMANA No. 7 (del 7 al 11 de marzo)
clase#20 y 21 se explico la solucion de ecuaciones con una incognita y se realizaron talleres
clase#23 realizacion de taller sobre las ecuaciones
ACTIVIDADES
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SEMANA No. 8 (del 14 al 18 de marzo)
clase#24 ,25 y 26 realizacion de problemas sobre ecuaciones enteras con una sola incognita
ACTIVIDADES
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SEMANA No. 9 (del 21 al 25 de marzo)
clase# 27,28,representacion numeros decimales en la recta numerica
clase#29 suma y resta de numeros decimales explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de ejercicios
ACTIVIDADES
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SEMANA No. 10( del 28 de marzo al 1 de abril)
clase#30y31 suma y resta de numeros decimales,explicacion de la suma de numeros decimales y solucion de talleres
ACTIVIDADES
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