ACTIVIDAD # 1
A. Simplifique las siguientes Fracciones.
1. 3 / 6
2. 15 /45
3. 4 /9
4. 2 /8
5. 6 /12
6. 12 / 48
B. Indique cuál fracción es mayor. ( Utiliza el signo de >, <)
7. 6 / 2 Y 11 / 9
8. 4 / 6 Y 11 / 7
9. 4 / 12 Y 9 / 17
10. 4 / 9 Y 3 / 2
Actividad #2
1) Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:
2) Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:
3) Escribe los inversos de:
4) Escribe el signo > o <, donde corresponda.
5) Compara las siguientes fracciones:
6) Ordenar de menor o mayor:
7) Clasifica las siguientes fracciones en propias o impropias:
Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:
Halla los pares de fracciones equivalentes y colócalas en parejas:
3
ACTIVIDAD# 3
1). Comprobar si los pares de fracciones son equivalentes: 2/4 y 3/6, 4/9 y 8/18.
2). Hallar la fracción irreducible equivalente: 8/32, 81/243.
.
3) 3,141592653… es un nº racional que surgió al estudiar la longitud de la circunferencia.
Es el resultado de dividir la longitud de la circunferencia por el diámetro.
Con la siguiente información responder los ejercicios 4,5,6 España y Portugal poseen 5/27 y 1/40 de los bosques europeos respectivamente.
4). ¿Qué fracción d bosques europeos tienen España y Portugal?
5). ¿Qué fracción de bosques tiene España más que Portugal?
6). Calcula la superficie boscosa de cada una de ellas sabiendo que el total europeo es de 122864000 hectáreas.
7). Un trabajador ganó el lunes 8 y 1/3 euros y el martes 9 y 2/5 euros. ¿Cuántos euros ganó en los dos días?
8). A Juan le dieron 1/3 de pastel y a Montse 1/5 de pastel. ¿Cuánto reunieron entre los dos?
9). Ana tiene 5 y 2/5 euros y Arturo 6 y 1/4 euros. ¿Cuántos euros tienen entre los dos?
10). Un niño bebió de un sorbo 1/2 de la botella y en otro sorbo 1/3. ¿Cuánto bebió entre los dos sorbos?
Actividad # 4
Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
1) (+12/3) · (+4/5) =
2) (-4/5) · (+13/8) =
3) (+2/6) · (-16/9) =
4) (+8/4) · (-12/9) (-16/9) =
5) (-8/2) · (+10/4) =
6) (-6/9) · (-16/9) (-15/10) =
7) (+5/12) · (+20/5) =
8) (+5/8) (-16/9) · (-12/7) =
9) (-8/3) · (-26/2) =
10) (+31/3) · (-16/9) (-10/4) =
11) (+60/2) ·(-16/9) (-3/90) =
12) (+54/23) · (-4/12) =
13) (+10/23) (-16/9) · (+8/5) =
14) (-64/2) ·(-16/9) (+45/4) =
15) (+10/2) · (-6/3) =
16) (+7/3) · (-9/8) =
17) (-20/3) · (+20/3) =
18) (-89/3) ·(-16/9) (-16/5) =
19) (+3/6) · (+36/4) =
20) (+14/8) ·(-16/9) (-30/5) =
21) (+1/2) (-4/7) · (-30/5) =
22) (+1/2) ·(-16/9) (-21/9) =
23) (+69/4) ·(+1/2) (-4/7) =
24) (+3/4) (+1/2) · (-54/4) =
Actividad # 5
1). (+10/2) : (+2/4) =
2). (-44/5) : (+11/8) =
3). (+36/3) : (-4/9) =
4) (+15/4) : (-37/3) =
5). (-80/9) : (+4/8) =
6). (-66/2) : (-11/2) =
7). (+25/3) : (+5/3) =
8). (+56/2) : (-1/2) =
9). (-82/2) : (-2/4) =
10). (+30/4) : (-10/7) =
11). (+60/5) : (-3/4) =
12). (+84/3) : (-4/5) =
13). (+12/4) : (+4/5) =
14). (-48/3) : (+12/3) =
15) (+11/4) : (-1/6) =
16). (+16/5) : (-2/9) =
17). (-22/8) : (+11/8) =
18). (-88/8) : (-4/5) =
19). (+12/5) : (+3/2) =
20). (+14/25) : (-7/3) =
21). (-3/14) : (-3/16) =
la actividad 6 y 7 no existe
Actividad# 8
1) Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:
8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
2) Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:
−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
3) Nombre el entero que se sugiere en cada situación:
a. En el juego Carlos perdió 12 puntos
b. Juan ganó 5 puntos en su primer juego
c. El miércoles la temperatura fue de 3 grados bajo cero
d. Pedro debe $50.000
e. Esta semana el almacén tuvo utilidades de $250.000
f. El Mar Muerto, entre Jordania e Israel, está a 1286 pies bajo el nivel del mar
4) Escriba los siguientes enteros de menor a mayor:
a. 13, -12, 5, -17 b. -23, 4, 0, -17 c. -24, -26, -18, -32, -5, -16
5) Para los siguientes enunciados, dar el entero para el punto en la recta numérica que se encuentra:
a. 27 unidades a la derecha de 0 b. 124 unidades a la izquierda de 0
c. 20 unidades a la derecha de -2 d. 16 unidades a la izquierda de 4
6) Dar el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números:
a. 3 b. 5 c. 0 d. – 3 e. – 9
7).- Define número entero positivo y número entero negativo y pon un ejemplo de
Cada uno de ellos.
8).- Define valor absoluto y valor relativo de un número entero.
Halla el valor absoluto y el valor relativo del siguiente número enteros:
-9, +5, -10, -3, +8, -1, +9, -2, +12, -15.
10).- Representa en la recta el siguiente número entero:
-7, +3, -9, -5, +10, 0, +8.
11).- Representa los siguientes números sobre la recta:
-9, +7, -5, -10, +1, 0, +5, -8, +3, -6.
12).- Ordena las siguientes series de forma creciente:
-2, +7, 0, -2, +3, +5, -9 +7, +2, +4, -9, -6, -1, 0
13).- Ordena las siguientes series de forma decreciente:
+21, -11, +7, -19, +2, -9, +14 +10, -25, +3, -9, -7, -18, +5, -1, 0
Actividad # 9
1) 2 + -5 2) -3 + 6
3) -7 + 2 4) -3 + 4
5) 6 + -1 6) -3 + 3
7) -2 + -2 8) 6 + -7
Actividad #10
1) 2 – 6
2) –3 – 4
3) 4 - -2
4) –1 - -6
5) 2 - 8
6) 3 - -5
7) –1 - 4
8) 0 - -8
9) 2 x-2
10) -3 x -8
11) 10 x -2
12) -2 x -30
13) -2 x -4 x-5
14) -4 x 3 x -5
15) 25 / -5
16) -24 / -8
17) 8 / - 4
18) -30 / -2
19) 0 / -3
20) -4 / 0
Actividad# 11
1) (+166) + (+12) =
2) (+242) + (+83) =
3) (+541) + (+12) =
4) (+25) + (+32) =
5) (+2) + (+24) =
6) (+14) + (+22) =
7) (+4) + (575) =
8) (+54) + (+25) =
9) (+220) + (+58) =
10) (+54) + (+24) =
11) (+44) + (+574) =
12) (+25) + (+5) =
Actividad# 12
1) (-252) + (-25) =
2) (-351) + (-24) =
3) (-94) + (-220) =
4) (-11) + (-140) =
5) (-54) + (-155) =
6) (-561) + (-210) =
7) (-250) + (-10) =
8) (-254) + (-41) =
9) (-54) + (-40) =
10) (-25) + (-52) =
11) (-26) + (-36) =
13) (-45) + (-410) =
Actividad# 13
1) (+10) + (-210) =
2) (-50) + (+63) =
3) (+523) + (-140) =
4) (+541) + (-798) =
5) (-102) + (+97) =
6) (+235) + (-12) =
7) (+974) + (-15) =
8) (+460) + (-61) =
9) -49) + (-870) =
10) (+75) + (-785) =
11) (+874) + (-120) =
12) (+97) + (-785) =
Actividad: 14
.Realizar las siguientes operaciones con números enteros
1). (3 + 8) - [5 - 6)] =
2). 5 − [6 − 2 − ( − 8) − 3 + 6] + 5 =
3). [(2)5 − (3)3]2 =
4). [5 + (3 · 2 )/( 6 − 4 )] ·[ 4 /(2 − 3 + 6) ]/ [(7 − 8 : 2 − 2)]2 =
5). [(17 − 15)3 + (12-8)2] : [(9 − 7) · (40 − 35)] =
6). (+457) - (-65) =
7). (-444) - (+24) =
8.) (+78) - (-980) =
9) (+740) - (-84) =
10) (-40) - (+215) =
11) (+452) - (-62) =
12) (+410) - (-20) =
13) (+412) - (-15) =
14) (-41) - (-9) =
15) (+80) - (-101) =
16)(+754) - (-98) =
17) (+641) - (-30) =
18)(+100) - (-21) =
20)(-201) - (+52) =
21) (+98) - (-5) =
22) (+32) - (-148) =
23) (-654) - (+43) =
24) (+785) - (-23) =
25) (+415) - (-12)=
26) (+541) - (-68) =
27) (-441) - (-21) =
28) (+652) - (-44) =
29) (+879) - (-471) =
30) (+503) - (-41) =
ACTIVIDAD# 15
1). Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
2). Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
3). ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
4). Ezequiel tiene en su cuenta corriente un saldo de 84.500 euros; entregó
tres cheques por valor de 3.600, 59.200 y 25.000 euros, y después
ingresó 4.596 euros.
¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
5) La temperatura medida en la sierra de Grazalema a las siete de la
mañana es de 1º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 1º, de 9 a
11 aumentó en 2º, de las 11 a la 1 no varío, de 1 a 3 subió 3º, de 3 a 4
descendió 2º y de 4 a 7 descendió 3º.
¿Cuál es la temperatura a las 7 de la noche?
6) Un submarino baja a 125 metros de profundidad y después 115 metros
más, para más tarde subir 75 metros .
¿A cuántos metros se encuentra ahora?
7) Rubén debía 3.500 euros y ahora tiene 4.500 euros.
¿Cuánto dinero pagó?
8) En el metro viajan 200 personas. En la primera parada bajan 18 y suben
46. En la segunda, bajan 64 y suben 82. En la tercera bajan 35 y suben
18.
¿Cuántos viajeros llegarán a la cuarta parada?
¿Cuándo cumplirá 35 años una persona que en 1984 tenía 17 años?
9) Ana y Pablo compran un libro y bolígrafo, por 35 euros. Si el bolígrafo
cuenta 17 euros.
¿Qué diferencia hay entre el coste del libro y del bolígrafo?
10) Pepa gasta en la peluquería 10 euros, en lotería 20 euros y cobra un
premio de 50 euros. Si al terminar el día tiene 25 euros,
¿Cuánto dinero tenía al principio?
11) Un ascensor sube a una altura de 30 metros, después baja a 15 metros,
vuelve a subir 21 metros y baja de nuevo 7 metros.
¿A qué altura se encuentra en este
ACTIVIDAD # 16
1). (+7) · (+2)=
2) (-4) · (-5)=
3). (+8) · (-3)=
4). (-9) · (+8)=
5). (+12): (+6)=
6). (-24): (-3)=
7). (-49): (+7)=
8). (+121): (-11)=
9). (7 )· (-4): (2) (-1)=
10). (-6) :(-2) ·(8: 4)=
11)“El coche de Luis circula a 60 Km/h. Si está andando 3 horas. ¿Cuántos Km ha
recorrido?”
12)“En un hiper venden la leche a 85 céntimos por litro. ¿Cuánto costarán 5 litros de
leche?
13)“Hemos comprado 10 barras de pan por las que hemos pagado $ 650 . ¿A cuánto
hemos pagado la barra de pan?”
14)“Cada litro de gasoil vale 4 euros. ¿Cuántos litros podemos echar al depósito con
20 euros?
15) Ana tiene 5 Euros. Luis tiene tres veces más.
¿Cuántos Euros tiene Luis?
16) Ana tiene 5 €. Luis tiene 15 euros. ¿Cuántas veces es
mayor la cantidad de Euros de Luis que la de Ana?
Luis tiene 15 €. Tiene tres veces más que Ana. ¿Cuántos euros tiene Ana
”
1. ECUACIONES.
Ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para ciertos valores de las letras (incógnitas).
Ejemplos: 3x = 12 sólo se cumple si x = 4
2x + 3 = 9 sólo se cumple si x = 3
10 – 4x = 3x – 4 sólo se cumple si x = 2
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.
Ejemplo: 2x = 10 y 2x + 5 = 15 son equivalentes, porque en ambas la x = 5
No todas las igualdades algebraicas son ecuaciones. Por ejemplo, la expresión 2 (x + 1) = 2x + 2 se cumple para cualquier valor de x. Este tipo de expresión recibe el nombre de identidad.
Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
Actividad # 1
· Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones:
2. ELEMENTOS Y NOMENCLATURA.
2.1. Miembros. Son cada una de las expresiones algebraicas que aparecen en ambos lados de la igualdad.
3x + 5 = 10 + 2x
Primer miembro
Segundo miembro
2.2. Términos. Son los sumandos que forman cada uno de los dos miembros.
3x + 5 = 10 + 2x
Términos
2.3. Incógnitas. Son las letras que aparecen en la ecuación. En la anterior ecuación, la incógnita es x
En la ecuación 2a + 3b = 5 –2b las incógnitas son a y b
2.4. Soluciones. Son los valores que deben tomar las letras para que se cumpla la igualdad.
En la ecuación 5x – 4 = 2x + 5 la solución es x = 3
2.5. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman sus miembros.
5x – 4 = 2x + 5 es una ecuación de primer grado
3x² + 2x = 15 – 4x² es una ecuación de segundo grado
2x³ - 4x² = 2x² + x³ -15 es una ecuación de tercer grado.
Etc.
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS.
Para ello, iremos transformando la ecuación en otras equivalentes, más sencillas, haciendo los pasos siguientes:
5x +8 – 2x = 20 + x – 4 a) Transponer términos. (Para ello cambiamos de signo aquellos términos
que debemos cambiar de miembro)
5x – 2x – x = 20 – 4 – 8 b) Reducir. (Para ello, sumamos los términos semejantes)
2x = 8 c) Despejar la incógnita. (Para ello, dividimos los dos miembros por 2)
2x/2 = 8/2 x = 4
Actividad:2
· Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 5 = 9 b) 5 + x = 12 c) 4 = 12 – x d) 8 – x = 3
· Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x = 20 b) 2x = -6 c) 4x – 8 = x + 1 d) 10 + 2x = 3x + 5
· Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 10x + 4 – 2x + 10 = 4x – 4 + 2x + 22 b) 4x + 17 = 8x + 5 – 7x
c) 5x - 2x + 10 = x + 18 d) 2x + 5 - x = 3x + 1 e) x + 3x + 2 = 2x + 8
3.1. ECUACIONES CON DENOMINADORES.
Para resolver este tipo de ecuaciones, en primer lugar hay que transformar la ecuación en otra equivalente con los mismos denominadores, utilizando el m.c.m.
Ejemplo:
a)
Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m., es decir, por 12
b) Simplificamos:
9x – 20 = 4x – 30
c) Transponemos términos:
9x – 4x = - 30 + 20
d) Reducimos términos:
5x = -10
e) Despejamos la incógnita:
Actividad:3
·
Resuelve las siguientes ecuaciones:
3.2. ECUACIONES CON PARÉNTESIS.
Ejemplo: 5x – 2(3x + 4) = 4 – 3(x – 2)
a) Quitar parétesis: 5x – 6x – 8 = 4 – 3x + 6
b) Transponer términos: 5x – 6x + 3x = 4 + 6 + 8
c) Reducir: 2x = 18
d) Despejar la incógnita: x = 18/2 x = 9
Actividad:4
· Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 1 – 3(2x – 1) = 16
b) 3 + 4(2 – x) = 1 – 2x
c) 4 –(3 + 2x –5) = 15 – 2(3x + 6)
4.
MÉTODO GENERAL PARA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
a) Quitar denominadores: m.c.m (6,3,4) = 12
10(x – 4) – 16 = 3(2 + x) – 24x
b) Quitar paréntesis:
10x – 40 – 16 = 6 + 3x – 24x
c) Transponer términos:
10x – 3x + 24x = 6 + 40 + 16
e) Reducir términos semejantes:
31x = 62
f)
Despejar la incógnita:
5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.
Ejemplo 1: ¿Cuál es el número que, aumentado en 48, es el quíntuple de su valor inicial?
a) Identificar los elementos del problema, expresando algebraicamente los que son desconocidos:
El número buscado ---------------------- x
El número aumentado en 48 ----------- x + 48
El quíntuplo del número ---------------- 5x
b) Expresar la ecuación:
x + 48 = 5x
c) Resolver la ecuación:
x + 48 = 5x
x – 5x = -48
-4x = -48
x = -48/-4
x = 12
d) Comprobar el resultado:
El número buscado es 12
El número 12 aumentado en 48 es 60
5 veces el número 12 es 60
Luego la solución es correcta.
Ejemplo 2: Averigua dos números consecutivos cuya suma es 23
a) Identificar los elementos del problema, expresando algebraicamente los que son desconocidos:
Los números buscados ---------------------- x y x + 1
Los dos números sumados ----------------- x + x + 1
La suma de los dos números --------------- 23
b) Expresar la ecuación:
x + x + 1 = 23
c) Resolver la ecuación:
x + x = 23 – 1
2x = 22
x = 22/2
x = 11
d) Comprobar el resultado:
Los números buscado son 11 y 12
La suma de los dos números es 11 + 12 = 23
Luego la solución es correcta.
Ejemplo 3: La edad del padre de Sohora es cuádruple que la de su hija, pero dentro de 20 años solamente será el doble ¿Cuántos años tienen Sohora y su padre?
a) Identificar los elementos del problema, expresando algebraicamente los que son desconocidos:
Edad de Sohora hoy ----------------- -------------- x
Edad del padre de Sohora hoy--------------------- 4x
Edad de Sohora dentro de 20 años --------------- x + 20
Edad del padre de Sohora dentro de 20 años---- 4x + 20
b) Expresar la ecuación:
4x + 20 = 2(x + 20)
c) Resolver la ecuación:
4x + 20 = 2(x + 20)
4x + 20 = 2x + 40
4x – 2x = 40 – 20
2x = 20
x = 20/2
x = 10
d) Comprobar el resultado:
Sohora tiene 10 años
Su padre tiene el cuádruple, es decir, 40
Dentro de 20 años Sohora tiene 30 y su padre 60
La edad del padre, entonces, será doble de la de Sohora
Luego la solución es correcta.
Ejemplo 4: La base de un rectángulo mide triple que la altura, y su perímetro mide 32 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?
a) Identificar los elementos del problema, expresando algebraicamente los que son desconocidos:
La altura del rectángulo ----------------- -------------- x
La base del rectángulo --------------------------------- 3x
El perímetro del rectángulo --------------------------- 32 cm
b) Expresar la ecuación:
3x + x + 3x + x = 32
c) Resolver la ecuación:
8x = 32
x = 32/8
x = 4
d) Comprobar el resultado:
La altura del rectángulo mide 4 cm y la base, que es el triple, mide 12 cm.
El perímetro del rectángulo será 4 cm + 4 cm + 12 cm + 12 cm = 32 cm
Luego la solución es correcta.
Actividades:5
a) Averigua dos números impares consecutivos cuya suma sea 32 (Recuerda, un número impar se expresa por 2x + 1)
b) Si al triple de un número le quitas 13, obtienes 86 ¿Cuál es ese número?
c) Si a un número le restas 15 y el resultado lo divides entre 3, obtienes 20. ¿Cuál es el número?
d) La edad de Rahma es 6 veces la de su nieto Karim, pero dentro de 8 años sólo será el cuádruple. ¿Cuál es la edad de cada uno?
e) Un padre tiene 40 años y su hijo 10.¿Cuántos años tienen que transcurrir para que el padre tenga triple que el hijo?.
f) La base de un triángulo es doble que su altura, y su área mide 25 cm². Cuánto miden la base y la altura?
g) En una granja de vacas, entre cuernos y patas suman 90 ¿Cuál es el número de vacas?
h) La valla que rodea una parcela rectangular mide 80 m. La parcela mide 10 m más de largo que de ancho. ¿Cuáles son las medidas de la parcela?.
i) En un garaje, entre coches y motos hay 15 vehículos. Sabiendo que el número de ruedas es 50, ¿cuántos coches y cuántas motos hay?
j) La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números?
k) En un cine hay 511 personas. Si hay 17 mujeres más que hombres, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres hay en el cine?
ACTIVIDAD #6
1) La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
2) En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
3) En una piscina hay 2.000 litros de agua. Por un grifo entra 5 litros por
Minuto y por el desagüe se salen 7 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en la piscina al cabo de un cuarto de hora?
4) · La temperatura media de un día en París es de 4º bajo cero.
Calcula la de Moscú si es el triple de baja.
5) Mario tiene en su cuenta corriente un saldo de 15.350 euros; entregó
Tres cheques por valor de 1.200, 25.500 y 5.300 euros, y después
Ingresó 8.365 euros. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?
6) La temperatura medida en la estación de trenes a las ocho de la mañana
Es de 9º sobre cero; de 8 a 10, la temperatura aumentó 1º, de 10 a 12
Aumentó en 4º, de las 12 a las 5 no varío, de 5 a 6 subió 3º, de 6 a 8
Descendió 5º y de 8 a 11 descendió 10º.
¿Cuál es la temperatura a las 11 de la noche?
7) La temperatura de una ciudad a las 7 de la mañana es de 4º bajo cero, y
a las 3 de la tarde es de 7º.
¿Cuál ha sido la variación de temperatura?
8) La temperatura de un pueblo, a las 5 de la tarde, fue de 30º. Sabiendo
que la variación de temperatura hasta las 10 de la noche fue de 8º.
¿Cuál fue la temperatura a las 10 de la noche?
9) Una persona gasta en el bingo 175 euros la primera semana, 320 euros la
segundo y 457 euros la tercera, ganando en premios 250 euros.
¿Cuál fue el balance final?
10) El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 135 euros. Si ahora llevo
5 euros,
¿Cuánto tenía inicialmente?
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